אלגברה של קבוצות

במתמטיקה ובפרט בתורת המידה ואלגבראות בוליאניות, אלגברה של קבוצות (נקראת גם: שדה של קבוצות) מעל קבוצה ${\displaystyle X\,}$ היא אוסף ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ של תת-קבוצות של ${\displaystyle X}$ המקיים את תכונות הסגירות הבאות:

• האוסף כולל את הקבוצה הריקה ואת ${\displaystyle X}$.^[1]
• האסוף סגור ללקיחת משלים ביחס ל-${\displaystyle X}$. כלומר אם ${\displaystyle \ F\in {\mathcal {F}}}$ אז ${\displaystyle \ X\backslash F\in {\mathcal {F}}}$.
• האוסף סגור ביחס לאיחוד סופי: אם ${\displaystyle F_{1},F_{2}\in {\mathcal {F}}}$ אז ${\displaystyle F_{1}\cup F_{2}\in {\mathcal {F}}}$.

משתי הדרישות האחרונות ומכללי דה-מורגן נובע גם כי אלגברה של קבוצות סגורה לחיתוך באורך סופי.

דוגמה לאלגברה של קבוצות מעל ${\displaystyle \mathbb {R} }$, היא אוסף כל האיחודים הסופיים של קטעים ממשיים מהצורה ${\displaystyle [a,b)\,}$.

סיגמא-אלגברה היא סוג מיוחד של אלגברה, המקיימת בנוסף גם סגירות לאיחוד של מספר בן מנייה של קבוצות. אם ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ היא סיגמא-אלגברה מעל ${\displaystyle X}$, הזוג הסדור ${\displaystyle \langle {X,{\mathcal {F}}}\rangle }$ נקרא מרחב מדיד (מרחב מדיד יחד עם פונקציית מידה נקרא מרחב מידה).

הערות שוליים

1. מהתכונה הבאה של סגירות ללקיחת משלים, נובע כי אם האוסף כולל את הקבוצה הריקה אז הוא כולל את ${\displaystyle X}$.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.