אבאר נולד בשנת 1905 בארד שבאימפריה האוסטרו-הונגרית, שנפלה ברומניה לאחר מלחמת העולם הראשונה, והחל את קריירת הכדורגל ב-AMEF ארד. עם העברתו לקולציה בראשוב ב-1926 היה קרוב מאוד לזכות בליגה הרומנית בעונת 1926/27 אך קבוצתו הפסידה במחזור הסיום. לאחר עונה זו הובא אבאר להונגריה לשחק באויפשט, עמה זכה ארבע פעמים בליגה ההונגרית. בנוסף לכך, זכה בגביע מיטרופה ב-1929 תוך כדי שהוא מסיים כמלך שערי הטורניר עם עשרה שערים. אויפשט גברה בצמד משחקי הגמר על סלביה פראג הצ'כוסלובקית ואבאר כבש שער אחד בכל משחק. בשנת 1936 חזר סטפן אבאר לרומניה והצטרף למועדון ראפיד בוקרשט, שם היה מאמן עד דצמבר 1939. אבאר סיים עמה כסגן אלוף בעונת 1937/38 והיה הכובש המצטיין בליגה הרומנית בעונת 1939/40 עם 21 שערים. באותה עונה הגיע איתה לגמר גביע מיטרופה בשנת 1940, שכבר לא נערך בשל מלחמת העולם השנייה. אבאר סיים את דרכו בראפיד בוקרשט לאחר המחצית הראשונה של עונת 1940/41, חזר להתיישב בהונגריה והמשיך את הקריירה בקאפושוואר. בשנת 1945 שיחק בקשב ופרש מכדורגל, ובסוף הפך למאמן קאפושוואר.
נבחרות לאומיות
במדי נבחרת רומניה כבש את שער הבכורה ב-25 באפריל1926 נגד בולגריה. באותה שנה עבר למועדון קולציה בראשוב והבקיע צמד ב-19 ביוני1927 בתיקו 3–3 נגד פולין, משחק שהיה להופעתו השנייה והאחרונה במדיה. בעקבות היכולת שהציג באויפשט ההתאחדות ההונגרית מינתה אותו לנבחרת הונגריה החל משנת 1927, ובמקום ששמו יופיע במדיה כ"סטפן אבאר" הוא שונה ל"אישטוון אבאר". הוא כבש 24 שערים ב-21 הופעות בה, כולל שמונה שערים בגביע מרכז אירופה של השנים 1932–1931. שערים אילו תרמו להונגריה לסיים במקום השלישי בתחרות ואבאר סיים ככובש המצטיין. גם במונדיאל 1934 השתתף עמה ושיחק במשחק רבע הגמר בו הפסידו 2–1 לאוסטריה.
