אינטראקציית גל-זרם

במכניקת הזורמים, אינטראקציית גל-זרם (באנגלית: Wave–current interaction) היא האינטראקציה בין גלי מים וזרמי ים ממוצעים. אינטראקציית גל-זרם היא אחד המנגנונים האפשריים ליצירת גלי פרא, כמו שקורה באופן תדיר בזרם אגוליאש (Agulhas Current). כאשר חבילת גלים שנעה בכיוון אחד פוגשת בזרם ים חזק שנע בכיוון ההפוך, הגלים בחבילה עשויים להיערם אחד על השני ולהפיק גל בעל אורך גל קצר יותר אולם בעל אמפליטודה (גובה גל) גדולה מאוד וצפיפות אנרגיה גבוהה מאוד. האינטראקציה הזאת סבוכה מאוד, אולם הסבר פשטני לה מבוסס על אפקט דופלר המסביר את השפעת זרם המים על תדירות הגל ואורכו. יותר מכך, אינטראקציית גל-זרם יכולה, כאשר זרם הים הפוך בכיוונו ומהיר יותר מהגל, להוביל להיווצרות קאוסטיקות^[1] (באנגלית: caustic) של גלי הים באזורים מסוימים, באופן אנלוגי לתופעות מתחומים אחרים הקשורות בקאוסטיקות של גלים (כמו בום על קולי וקשת בענן). בקאוסטיקות, המהוות את גבולות התחום בו גלי הים יכולים להתקדם, אמפליטודת הגל מתחזקת מאוד (מבחינה פורמלית מקבלת ערך אינסופי), והסבירות להיווצרות גל פרא באזור כזה גבוהה בהרבה.

סיווג

Peregrine (ב-1976) זיהה חמישה זנים שונים של אינטראקציית גל-זרם:

• אינטראקציה של גלים עם שדה זרם בקנה מידה גדול בהרבה, עם שינויים דו-ממדיים איטיים - בהשוואה לאורך הגל - בשדה הזרם.
• אינטראקציה של גלים עם שדה זרם בקנה מידה קטן (בניגוד למקרה לעיל), בה הזרם האופקי משתנה במהירות בסקלת אורך שהיא בת השוואה לאורך הגל.
• אינטראקציית גל-זרם משולבת עם זרמים המשתנים באופן חזק בתלות בעומק מתחת לפני הים.
• אינטראקציה של גלים עם טורבולנציה; ולבסוף:
• אינטראקציה של גלים הנוצרים על ידי ספינות עם זרמים, כמו שקורה למשל בשובל של ספינה.

יחס נפיצה של גלי מים על פני זרם ממוצע

גלי מים שמתקדמים על פני מים זורמים חווים שינוי באורך הגל שלהם לעומת ערכו כאשר הם מתקדמים על פני מים נייחים; כאשר הגלים נעים עם כיוון הזרם, אורכם גדל, בעוד כאשר הם נעים נגד כיוון הזרם, אורכם מתקצר. ניתן לפתח את יחס הנפיצה של גלי מים עמוקים על פני זרם מים באמצעות הטריק של מעבר למערכת הייחוס של הזרם. ברור שאורך הגל הנצפה זהה במערכת הייחוס בה המים נייחים ובמערכת הייחוס בה המים זורמים. לכן התדירות הזוויתית של הגל במערכת הייחוס בה המים נייחים היא: ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {gk}}}$. תדירות הגל במערכת הייחוס בה המים זורמים היא לפיכך: ${\displaystyle \omega =kU+\Omega =kU+{\sqrt {gk}}}$. כיוון שתדירות הגל ${\displaystyle \omega }$ בכל מערכת ייחוס היא קבועה בזמן, נקבל שיחס נפיצה זה מוליך למשוואה הריבועית:

${\displaystyle U^{2}k^{2}-(g+2\omega U)k+\omega ^{2}=0}$

אשר לה פתרונות:

${\displaystyle k_{1,2}={\frac {1}{2U^{2}}}(g+2\omega U\pm g{\sqrt {1+4\omega U/g}})}$

נגדיר כעת את מהירות המופע ${\displaystyle c_{p}}$ של הגלים בטרם הגיעו לאזור בו יש זרם מים: ${\displaystyle \omega =\Omega ,c_{p}={\frac {g}{\omega }}}$, ונקבל לאחר פישוט אלגברי ארוך שמהירות התקדמות הגל c במערכת הייחוס בה המים זורמים היא^[2]:

${\displaystyle c={\frac {\omega }{k}}={\frac {2U^{2}/c_{p}}{1+2U/c_{p}\pm {\sqrt {1+4U/c_{p}}}}}={\frac {1}{2}}c_{p}(1\pm {\sqrt {1+4U/c_{p}}})+U}$.

באופן קומפקטי יותר, ניתן לרשום את מהירות המופע של הגל v במערכת הייחוס שנעה עם הזרם:

${\displaystyle v=c-U={\frac {1}{2}}c_{p}(1\pm {\sqrt {1+4U/c_{p}}})}$

כעת נפרש את התוצאה. ניתן לראות שכאשר ${\displaystyle U>0}$ (הזרם עם כיוון הגל), אז המהירות v גדלה והגל מתארך. באופן דומה כאשר ${\displaystyle U<0}$ המהירות v קטנה והגל מתקצר. ההיקש המשמעותי ביותר מהמשוואה ל-v נוגע למה שקורה כאשר הדיסקרימיננטה מתאפסת או קטנה מאפס, כלומר כאשר ${\displaystyle U\leq -c_{p}/4}$. ברור שרק לפתרון ממשי למהירות יש משמעות לכן נתייחס למקרה שבו ${\displaystyle U=-c_{p}/4}$. במקרה זה מהירות המופע של הגל במערכת הייחוס של הזרם היא ${\displaystyle v={\frac {c_{p}}{2}}}$, ומהירות החבורה של הגל היא חצי ממהירות המופע, כלומר ${\displaystyle c_{g}={\frac {v}{2}}={\frac {c_{p}}{4}}}$. כיוון שמהירות החבורה היא למעשה מהירות התקדמות האנרגיה של הגל, נקבל שבמערכת הייחוס של צופה נייח מהירות התקדמות הגל היא: ${\displaystyle c_{g}+U=0}$ - כלומר הגל אינו מסוגל להתקדם כלל כנגד הזרם! מצב כזה מכונה חסימה (blocking) של הגל על ידי הזרם.

קאוסטיקות של גלים דו-ממדיים

במקרה הכללי יותר מהמקרה החד-ממדי שתואר מקודם, יחס הנפיצה של גל המים הנמצא באינטראקציה עם הזרם הוא:

${\displaystyle \left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {U} \right)^{2}=\Omega ^{2}(k),}$

כאשר k•U היא מכפלה סקלרית בין ווקטור מהירות הזרם לווקטור הגל, ששווה ל-: k•U = kU cos α. במקרה זה נקבל שהחסימה של הגל על ידי הזרם באה לידי ביטוי בהגבלת טווח הזוויות שגלים דו-ממדיים יכולים להתקדם בהן. כלומר הגלים ייצרו תבנית V אופיינית עם זווית פתיחה ששווה ל-: ${\displaystyle \theta =2arccos({\frac {g}{4U\Omega }})}$. בגבולות התחום הזה, שהם דוגמה לקאוסטיקה, ישנה תופעת של היערמות גלי המים והתחזקות יוצאת דופן של צפיפות האנרגיה ואמפליטודת הגל. זה נובע מכך שגבולות התחום הם אקסטרמום זוויתי של פיזור הגלים, כך שגלים עם טווח כיוונים רחב מפוזרים פחות או יותר בכיוון יחיד, ומתקבלת צפיפות אנרגיה גבוהה מאוד.

הערות שוליים

1. עמודים 16-17, Rogue Waves: Mathematical Theory and Applications in Physics
2. A Modern Introduction to the Mathematical Theory of Water Waves,p.113 - 116