אי-שוויון מינקובסקי

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה ${\displaystyle p}$ במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי

עבור ${\displaystyle p\geq 1}$, מגדירים את נורמת ${\displaystyle {\ell }_{p}}$ של וקטור ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ לפי הנוסחה ${\displaystyle ||{\overrightarrow {x}}||_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}}^{p}|}}}}$.

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: ${\displaystyle ||x+y||_{p}\leq ||x||_{p}+||y||_{p}}$, לכל שני וקטורים ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$.

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת ${\displaystyle {\ell }_{p}}$ מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה

נוכיח את נכונות אי-השוויון.

לפי אי-שוויון המשולש:

${\displaystyle {{||x+y||}_{p}}^{p}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p}}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}||{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}\leq \sum _{i=1}^{n}{{(|{x}_{i}|+|{y}_{i}|)\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}+\sum _{i=1}^{n}{{|{y}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}}$

כעת, לפי אי-שוויון הולדר:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}+\sum _{i=1}^{n}{{|{y}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}\leq ({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){[\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{q(p-1)}}]}^{\frac {1}{q}}=({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){[\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p}}]}^{\frac {p-1}{p}}=({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){{||x+y||}_{p}}^{p-1}}$

ולכן: ${\displaystyle {{||x+y||}_{p}}^{p}\leq ({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){{||x+y||}_{p}}^{p-1}}$, ולאחר צמצום נקבל ${\displaystyle {{||x+y||}_{p}}\leq {||x||}_{p}+{||y||}_{p}}$.

בתורת המידה

ערך מורחב – מרחב Lp

בתורת המידה, נורמה-${\displaystyle p}$ של פונקציה על מרחב מידה ${\displaystyle (X,S,\mu )}$ מוגדרת כך - ${\displaystyle ||f||_{p}=(\int _{X}{|f|^{p}d\mu })^{\frac {1}{p}}}$. המרחב ${\displaystyle L^{p}(X)}$ הוא אוסף כל הפונקציות עבורן ${\displaystyle ||f||_{p}<\infty }$; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - ${\displaystyle ||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}}$, ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה ${\displaystyle p=2}$ מתקבל מרחב הילברט ${\displaystyle L^{2}(X)}$.

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי ${\displaystyle L^{p}}$; הוא מתקבל עבור המרחב ${\displaystyle L^{p}(X_{n},P(X_{n}),\#)}$, כאשר ${\displaystyle X_{n}=\{1,...,n\}}$ ו-${\displaystyle \#}$ היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם

• נורמה
• אי-שוויון הולדר
• מרחב Lp

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון מינקובסקי, באתר MathWorld (באנגלית)