יליד פתח תקווה. בגיל 12 כבר חיבר את בעיית השחמט הראשונה שלו, וכעבור שנתיים זכה לציון כבוד בתחרות לחיבור בעיות שחמט בהולנד.
מגיל 17 התרכז אבנר במשחק שחמט תחרותי. ב-1961 ניצח אבנר באליפות צה"ל בשחמט. כעבור שנה הגן על תוארו וזכה גם בתואר אלוף תל אביב. ב-1964 צורף לנבחרת ישראל לאולימפיאדת הסטודנטים בקרקוב וסייע לנבחרת להגיע למקום השביעי עם תוצאה של 6.5 מ-11 בלוח השלישי. בשנת 1965 סייע אבנר לנבחרת ישראל להגיע לגדול הישגיה (מקום שני ומדליית כסף) בעיקר בזכות תוצאותיהם של יעקב בליימן ושמעון כגן בלוחות השני והרביעי. הופעתו השלישית והאחרונה של אבנר במסגרת זו הייתה בשוודיה 1966 עם תוצאה מצוינת של 8 מ-11 בלוח הרביעי.
אבנר נמנה עם צמרת השחמטאים בישראל בשנות ה-60 וה-70, הופיע באופן קבוע בליגה הלאומית בשורות מועדון אס"א אוניברסיטת תל אביב והיה שותף לזכיותיה הרבות באליפות המדינה לקבוצות. השתתף פעם אחת בגמר אליפות ישראל ב-1969 (מקום 5–10 עם 9 מ-16, 2 נקודות לאחר המנצח שמעון כגן. לקראת סוף שנות ה-70 של המאה ה-20 הוא חזר להתמסר לחיבור בעיות שחמט.
קומפוזיציה שחמטאית
החל משנת 1979 ועד לפטירתו זכה אבנר מדי שנה להישגים משמעותיים בתחרויות חיבור שונות וצבר עשרות פרסים.
אחת לכמה שנים נערכת אליפות העולם הקבוצתית בחיבור בעיות שחמט. זה אירוע הנמשך מספר שנים מרגע הכרזת התחרות ועד תום תהליך השיפוט והערעור. אבנר כיכב באליפות העולמית השנייה שנערכה בין השנים 1980 ל-1983, זכה במקום הראשון במחלקת מט לדעת, במקום השלישי במחלקת מט עזר והיה שותף לבעיה הזוכה במקום הראשון במחלקת בעיות אגדתיות. באליפות העולם השלישית (1988-1984) זכה אבנר פעם נוספת במקום הראשון במחלקת מט לדעת.
8
7
6
5
4
3
2
1
א
ב
ג
ד
ה
ו
ז
ח
s#6 10+11 פרס ראשון בתחרות The Problemist 1992
8
7
6
5
4
3
2
1
א
ב
ג
ד
ה
ו
ז
ח
פרס שני 1992 (עם Caillaud) מט בארבעה מסעים
8
7
6
5
4
3
2
1
א
ב
ג
ד
ה
ו
ז
ח
פרס שלישי, תחרות פיד"ה 1958 מט בשני מסעים
פתרון בעיות שחמט
אבנר היה פותר בעיות מעולה שהצטיין בשורות נבחרת ישראל בכנסים של 1977 ו- 1978. מדי שנה ארגן את אליפות ישראל בפתרון בעיות שחמט שמצטייניה נשלחו לאליפות העולם. אבנר עמד בראש המשלחת הישראלית ודאג לגייס את התקציבים הנדרשים לנסיעה, לארגן את הנבחרת ולוודא שתופיע בהרכב החזק ביותר האפשרי. אבנר הוביל את נבחרת ישראל למקום שלישי בעולם בשנת 1993 ובין 1996 ל-1998 זכתה הנבחרת במקום הראשון בעולם שלוש פעמים ברציפות, ובשנים 2001 ו- 2004 קטפה עוד שני תארים. באליפויות האישיות של אותן שנים הוכתרו עפר קומאי ונעם אלקס לאלופי העולם, ורם סופר זכה שלוש פעמים במקום השלישי.
פעילות ציבורית בתחום הקומפוזיציה השחמטית
אבנר הוביל את התחום בישראל וריכז אותו במשך שנים רבות. יזם, ארגן וניהל עשרות כנסים ומפגשים מקומיים וכן תחרויות לחיבור ופתרון בעיות.
אבנר הקים איגוד עצמאי לקומפוזיציה שחמטית אשר זכה לתמיכה מתמדת מצד איגוד השחמט, שאפשרה לשגר מדי שנה נבחרת חזקה לאליפות העולם בפתרון בעיות שחמט.
בשנת 1983 ארגן את הכנס העולמי לקומפוזיציה שחמטאית בעיר בת-ים. הכנס הוא אירוע מורכב הנמשך כשבוע בהשתתפות למעלה ממאה שחמטאים ומחברי בעיות שחמט מכל העולם. בשנות התשעים חזר אבנר על מבצע דומה פעמיים, בתל אביב 1996 ובנתניה 1999.
בשנת 2006 נבחר אבנר לתפקיד של נשיא איגוד הקומפוזיציה העולמי. אבנר שימש ארבע שנים נשיא בפועל, ולאחר מכן הפך לנשיא כבוד של הארגון. במסגרת תפקידו נפגש לעיתים קרובות עם בכירי פיד"ה, והפך את הארגון לקומפוזיציה שחמטית לארגון הנתמך על ידי פיד"ה אך זוכה לאוטונומיה ומנהל את ענייני הקומפוזיציה על פי שיקוליו המקצועיים.
ירחון השחמט
במשך שנים רבות אבנר היה עורך משותף (בתקופות שונות עם רם סופר, אמציה אבני ואליק גרשון) של ירחון "שחמט" ביטאונו הרשמי של איגוד השחמט בעידן הטרום-אינטרנטי והוא היה למעשה העורך האחרון של ביטאון השחמט בגרסתו הכתובה, בטרם החליטה הנהלת איגוד השחמט ברוח התקופה לעבור לביטאון מקוון, ביטאון שנזנח לאחר תקופה קצרה. לאבנר היה ניסיון רב בתחום הדפוס, שכן הוציא לאור בהתנדבות אחת לכמה חודשים כתב עת של איגוד הקומפוזיציה השחמטית בשם "וריאנטים".
ספרים שהוציא
הספר "אמנות הקומפוזיציה השחמטית בישראל" (1983) שאותו ערך בצוותא עם יואל אלוני.
קובץ של 86 מבעיות השחמט שלו, שיצא לאור בשנת 1994 תחת הכותרת "ריסון סוללות מארב ועוד רעיונות".
הקובץ "נאה מסיים" (1996) – מיטב האטיוד השחמטאי בישראל – שאבנר יזם את הפקתו בשיתוף פעולה עם המו"ל האוסטרי פרידריך חלובנה.
הספר (1996) Lender Combinations - Baruch Lender and His Chess Problems שאותו ערך בצוותא עם יואל אלוני ופז עינת.
