תחום הערכה דיסקרטית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה מופשטת, תחום הערכה דיסקרטית (באנגלית discrete valuation ring, או DVR) הוא תחום שלמות המהווה חוג שלמים של הערכה דיסקרטית כלשהי של שדה (ראו להלן).

מבין החוגים המרכזיים בתורת המספרים האלגברית, האריתמטיקה של תחומי הערכה דיסקרטית היא הפשוטה ביותר: בכל חוג כזה יש איבר ראשוני יחיד ${\displaystyle p}$, וכל איבר שקול (עד כדי הפיכים) לחזקה של ${\displaystyle p}$; לכן כל אידיאל של החוג הוא מהצורה ${\displaystyle \langle p^{n}\rangle }$. כל מיקום של חוג דדקינד באידיאל ראשוני הוא תחום הערכה דיסקרטית. לדוגמה, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\langle 3\rangle }=\{{\frac {a}{b}}:a,b\in \mathbb {Z} ,3\!\not |b\}}$ הוא תחום הערכה דיסקרטית (השייך להערכה ה-3-אדית של הרציונליים).

את תחומי ההערכה הדיסקרטיים אפשר לאפיין בדרכים רבות. להלן כמה הגדרות שקולות, הקובעות מתי תחום שלמות ${\displaystyle R}$ הוא תחום הערכה דיסקרטית.

1. ${\displaystyle R}$ הוא תחום ראשי מקומי (שאינו שדה).
2. ${\displaystyle R}$ הוא חוג דדקינד מקומי (שאינו שדה).
3. ${\displaystyle R}$ הוא חוג מקומי נתרי עם ממד קרול חיובי, שהאידיאל המקסימלי שלו ראשי.
4. ${\displaystyle R}$ הוא תחום פריקות יחידה בעל איבר אי פריק יחיד (עד כדי כפל באיברים הפיכים).
5. קיימת הערכה דיסקרטית ${\displaystyle v}$ על שדה השברים ${\displaystyle K}$ של ${\displaystyle R}$ כך ש-${\displaystyle R}$ הוא חוג השברים ${\displaystyle R=\{x\in K:v(x)\geq 0\}}$. החוג קובע את ההערכה באופן יחיד (עד כדי כפל בקבוע).
6. ${\displaystyle R}$ הוא תחום הערכה שחבורת ההערכה שלו היא המספרים השלמים ביחס לפעולת החיבור.

תחומי הערכה בדידה שלמים

ההערכה מגדירה על החוג ${\displaystyle R}$ טופולוגיה מטרית, והוא עשוי להיות שלם ביחס אליה. לכל תחום הערכה בדידה יש השלמה, שהיא תחום הערכה בדידה שלם. לדוגמה, ההשלמה של ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\langle 3\rangle }}$ היא חוג השלמים ה-3-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$.

לכל שדה ממאפיין חיובי ${\displaystyle p}$ יש חוג הערכה דיסקרטית שלם לא מסועף יחיד ששדה השאריות שלו הוא ${\displaystyle F}$. כל חוג מקומי (קומוטטיבי) ארטיני ראשי הוא מנה של תחום הערכה דיסקרטית שלם.

יהי ${\displaystyle P}$ אידיאל ראשוני של תחום דדקינד ${\displaystyle R}$. אזי אפשר להגדיר את ההערכה הבאה: ${\displaystyle v(x)=\max\{n|x\in P^{n}\}}$ ו-${\displaystyle v(0)=\infty }$. לדוגמה, קל לראות שההערכה ה-${\displaystyle p}$-אדית מתקבלת בצורה זו כאשר ${\displaystyle p\mathbb {Z} _{p}}$ הוא האידיאל המקסימלי ${\displaystyle P}$ בחוג המספרים ה-p-אדיים. הערכה זו מאפשרת להגדיר ערך מוחלט ${\displaystyle p}$-אדי ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)}}$ על שדה המספרים ה-p-אדיים.

מודולים מעל תחום הערכה בדידה

הדרגה של מודול M מעל תחום שלמות מוגדרת בתור המספר n המינימלי כך שכל תת-מודול נוצר סופית נוצר על ידי n איברים. אם M חסר פיתול, זהו המספר המקסימלי של איברים בלתי תלויים. כל מודול מדרגה 1 הוא אי-פריד.

לתחום הערכה בדידה יש רק שני מודולים חסרי פיתול מדרגה 1: החוג עצמו, ושדה השברים שלו.

התכונות הבאות של תחום ראשי שקולות זו לזו:

1. החוג הוא תחום הערכה בדידה שלם.
2. כל מודול נוצר מנייתית מדרגה 2 הוא פריד.
3. כל מודול נוצר מנייתית הוא סכום ישר של מודולים מדרגה 1.
4. כל מודול אי-פריד נוצר מנייתית הוא מדרגה 1.

מעל תחום הערכה בדידה שלם, חוג האנדומורפיזמים של מודול M מקיים את הגרסה הבאה של משפט סקולם-נתר, במקרה ש-M מודול מפותל, או חסר פיתול, או בעל מחובר ישר איזומורפי ל-R: כל אוטומורפיזם של החוג ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ המקבע את המרכז, הוא פנימי