שעשועי מתמטיקה

שעשועי מתמטיקה הם שם כולל למשחקים, חידות, קסמים מתמטיים, כן נושאים במתמטיקה שאינם דורשים ידע רב ויש בהם מן השעשוע. שעשועי מתמטיקה משמשים ככלי עזר חשוב בהוראת המתמטיקה ובפופולריזציה שלה.

הגבול בין מתמטיקה לשעשועי מתמטיקה אינו חד, ובעיה שהיא בגדר שעשוע לאחד היא בגדר מתמטיקה טריוויאלית לאחר. דוגמה לכך היא החידה המתמטית:

בקבוק עם פקק עולה 22 אגורות. הבקבוק עולה 20 אגורות יותר מהפקק, כמה עולה הפקק?

למי שלמד אלגברה בסיסית, זו בעיה פשוטה בנעלם אחד, אך לחסר ידע באלגברה זו חידה שיש בה מן השעשוע, בפרט לאחר שמתברר שהתשובה המיידית, "שתי אגורות", שגויה (התשובה הנכונה היא אגורה אחת).

לעיתים ניתן לעסוק בבעיה מתמטית ברמות שונות: רמה עממית, שבה ניתן לחקור ולשחק בבעיה בכלים הנמצאים בשליטתו של כל אדם, ורמה גבוהה, המצריכה ידע מתמטי מתקדם. דוגמה לכך היא משפט ארבעת הצבעים, הקובע כי אפשר לצבוע כל מפה מדינית, באופן שכל שתי מדינות בעלות קו גבול משותף נצבעות בצבע שונה, תוך שימוש בארבעה צבעים בלבד. קל מאוד להבין את המשפט, וניתן גם לנסות לצייר ולצבוע מפות שונות תוך קיום המשפט או תוך ניסיון להפריכו באמצעות דוגמה נגדית. אך הוכחתו של המשפט רחוקה מלהיות פשוטה, והיא נמצאה רק 126 שנה לאחר הצגת הבעיה.

היסטוריה

הדוגמאות המתועדות הראשונות של עיסוק במתמטיקה, כגון פפירוס רינד ממצרים ופלימפטון 322 מבבל, הן רשימות של תרגילים ובעיות, ללא שיטה מאורגנת, ומנקודת מבט מודרנית ניתן לראות בהן "שעשועים". חידות אלה הפכו אצל היוונים הקדמונים ליסודותיה של המתמטיקה כמדע שיטתי.

פפירוס רינד

ב-1612 יצא בצרפת ספרו של קלוד באשה, Problèmes plaisans et délectables, הכולל חידות מתמטיות. ברבות מחידות אלה (ובשעשועי מתמטיקה נוספים) עוסק ספרו של ו. ו. רוז בול, Mathematical Recreations and Essays, שמהדורה ראשונה שלו יצאה לאור בשנת 1892; מהדורות נוספות שלו יצאו לאור בחיי המחבר, ולאחר מותו המשיך לעדכנו ה.ס.מ. קוקסטר.

במאה ה-19 פעלו שני החידונאים שנחשבים לגדולים בכל הזמנים: סם לויד והנרי ארנסט דודני. לויד החל את דרכו כשחמטאי וכותב חידות שחמט, וב-1890 הוא שיתף פעולה עם דודני בטור של חידות מתמטיות בעיתון Tit Bits. שיתוף הפעולה התפרק בעקבות טענות הדדיות להעתקות, ובמהרה הפך ליריבות מרה ופורה. מבין השניים, סם לויד נחשב למי שהצליח להגיע לקהלים רחבים ביותר בזכות חידות כמו חידת הקוף הנעלם וחידת ה-15 (אף על פי שיש טענות לפיהן לויד העתיק גם חידה זו). לעומתו דודני נחשב למתמטיקאי המחונן יותר, והוא מפורסם בזכות מציאת הדרך להפוך מרובע למשולש ב-3 חיתוכים (המתואר באיור), וכן תשבצי מספרים. כותב חידות חשוב נוסף של התקופה הוא לואיס קרול, הידוע יותר כמחבר של אליס בארץ הפלאות. קרול עסק בעיקר בחיבור סילוגיזמים.

מרטין גרדנר נחשב לאבי ענף שעשועי המתמטיקה המודרנית. הטור "Mathematical Games" (משחקים מתמטיים) שפרסם גרדנר במשך כ-25 שנה בירחון סיינטיפיק אמריקן, תרם רבות לפופולריזציה של המתמטיקה. הטור כלל כתבות על נושאים רחבים שעד אז לא נחשבו כמתמטיים, כגון יצירותיו האמנותיות של מ.ק. אשר, פלקסגונים (צורות הנוצרות מקיפולי נייר), קסמים מתמטיים ועוד. לאחר פרישתו של גרדנר מילא את מקומו דאגלס הופשטטר (מחבר הספר גדל, אשר, באך).

ריימונד סמוליאן, העוסק בחידות הגיון, ואיאן סטיוארט, העוסק בפופולריזציה של המתמטיקה, נמנים עם התורמים הבולטים לתחום זה ברבע האחרון של המאה העשרים, שבו הפך התחום לעשיר למדי.

וי הארט (באנגלית: Vi Hart^[1]) הוא כינויה של ויקטוריה הארט, מתמטיקאית ומוזיקאית שמגדירה את עצמה כ-Mathemusician, העוסקת בשעשועי מתמטיקה ומוזיקה.^[2]

תחומים

חידת ה-15

כיצד להפוך משולש לריבוע, הומצא על ידי החידונאי הנרי ארנסט דודני

משחקים מתמטיים

קיימים מספר סוגים של משחקי חשיבה (משחקים מתמטיים):

• משחקים לשחקן בודד. בין הבולטים בהם ניתן למצוא את משחק ה-15, מגדלי האנוי, מחשבת (Peg Solitaire), חיילי קונוויי, הקובייה ההונגרית וקוביית סומה. בנוסף להיותם שעשועים מכניים, משחקים אלה מאפשרים להמחיש רעיונות מתמטיים, כגון רקורסיה (במגדלי האנוי), תורת החבורות (בניתוח הקובייה ההונגרית) והוכחה המבוססת על עקרון הזוגיות (בניתוח משחק ה-15). ישנן חידות רבות נוספות שניתן לראותן כמשחקים לשחקן בודד, כגון חידות חציית נהר.
• משחקי לוח אבסטרקטי: משחקים לשני שחקנים שבהם מזל אינו ממלא תפקיד. אלו משחקים שבהם יש ידיעה מלאה (להבדיל ממשחקי קלפים שבהם השחקנים אינם רואים את הקלפים של יריביהם) והתורות מתבצעים בזה אחר זה (להבדיל מאבן נייר ומספריים שבו המזל נכנס מכיוון שהתור מתבצע בו זמנית). ישנם מספר רב של משחקים מפורסמים ופופולריים מסוג זה כגון נים, איקס עיגול ושחמט. חלק ממשחקים אלו אפשר לפתור (למצוא את האסטרטגיה המבטיחה ניצחון) באמצעות כלים מתמטיים פשוטים ויפים, והתורה העוסקת בהם נקראת תורת המשחקים הקומבינטורית.
• משחקי מזל, כגון משחקי קובייה ומשחקי קלפים. הניתוח ההסתברותי של משחקים אלו מהווה כר נרחב לשעשועים מתמטיים.
• חידות מתמטיות רבות מבוססות על משחקים נודעים. בין חידות השחמט מפורסמות חידת שמונה המלכות וחידת מסע הפרש.
• תורת המשחקים היא ענף מתמטי שפותח על מנת לשמש בסיס מתמטי לחקר הכלכלה. המונח "משחק" בתורת המשחקים מתייחס למצב עימות או שיתוף פעולה בין מקבלי החלטות בעלי רצונות שונים. תורת המשחקים מתמקדת במשחקים שבהם אין ידיעה מלאה, במשחקי מזל ובמשחקי אסטרטגיה אבסטרקטיים, וכוללת כמה פנינים של שעשועי מתמטיקה, כגון:
  • דילמת האסיר - החידה הבסיסית מבוססת על שני פושעים הנתפסים על ידי השוטרים, והשוטרים מנסים לשכנע כל אחד מהם להתוודות ולהפליל את השני. במקרה ששני הפושעים אינם מתוודים, שניהם יישבו בכלא שנה אחת בלבד. במקרה שרק אחד מתוודה ומפליל, אזי הוא יוצא לחופשי והשני ייאסר ל-15 שנה. במקרה ששניהם מתוודים, אזי שניהם מקבלים 5 שנות מאסר. מה צריכים האסירים לעשות? החידה הזאת וואריאציות שלה הפכו לבסיס של ניתוח מצבים רבים בכלכלה, בפוליטיקה ובמלחמה.
  • משחקי קואליציות - יש לחלק את תקציב המדינה בין המפלגות, כאשר לכל מפלגה יש מספר מסוים של מנדטים, והיא מצביעה כגוף אחד. איך צריך לחלק את התקציב כדי שלמעלה ממחצית המנדטים יצביעו עבורו.
  • שידוכים ומשפט החתונה של שייפלי - ישנם 20 גברים ו-20 נשים, כל גבר מכין רשימה שבה הוא מדרג את כל הנשים לפי ההעדפה שלו, וכך גם כל אישה. האם ניתן למצוא שידוך יציב, כלומר לכל גבר לשדך אישה כך שאף זוג לא יתפתה לבגוד (כלומר אין זוג של גבר ואישה שמעדיפים אחד את השני יותר מבן הזוג שלהם). ישנו משפט בעל הוכחה, המראה כיצד ליצור שידוך שכזה.

שעשועים גאומטריים

חמשת הפאונים המשוכללים בגן המדע במכון ויצמן למדע

• חידות חיתוך והרכבה (dissection puzzle): חידה טיפוסית היא כיצד ניתן לחתוך צורה נתונה ל n חתיכות זהות? כמו כן יש עיסוק רב בשאלה כיצד ניתן לחתוך צורה כך שמהרכיבים ניתן להרכיב צורה אחרת. ישנה הוכחה שבעזרת מספיק חיתוכים אפשר להפוך כל מצולע למצולע אחר (בעל אותו שטח) בשני ממדים (תוצאה שלא נכונה עבור 3 ממדים), אך בשעשועי מתמטיקה מנסים למצוא את המספר הקטן ביותר של חיתוכים שיאפשר זאת. לדוגמה עבור חיתוך של ריבוע והרכבת משולש המספר הקטן ביותר של חיתוכים שנמצא הוא 3 והוא מודגם באיור. תת-קבוצה של חידות מהסוג הזה היא חידות טנגרם. (ראו גם הבעיה השלישית של הילברט).

הפוליאומינוים

• ריצופים: כיצד ניתן למלא את המרחב כולו בעזרת צורה נתונה. הריצופים כוללים מספר תחומי עניין בשעשועי מתמטיקה:
  • באמצעות אילו צורות קמורות ניתן לרצף את המישור? ניתן לרצף את המישור עם כל משולש וכל מרובע, ולא ניתן לעשות את זה עם צורות בעלות יותר משש צלעות. לגבי מחומשים, אחת הדמויות שתרמו לנושא זה יותר מכל הייתה עקרת בית בשם מרג'ורי רייס, שמצאה סוגים רבים חדשים של מחומשים שמרצפים את המישור.
  • אריחי פנרוז - הם סוג של צורות שבעזרתן ניתן לרצף את המישור אך לא ניתן לרצף אותו בצורה מחזורית.
  • יצירות אומנות המבוססות על ריצופים - אפשר לראות בעיקר במסגדים מימי הביניים, וביצירותיו של אשר.
• שעשועים הקשורים לטופולוגיה כגון טבעת מביוס ובקבוק קליין.
• פוליאומינו (polyominoes): הפוליאומינוים, המודגמים באיור, נולדו בהרצאה שנתן סולומון גולומב ב-1953, אך התפרסמו בעיקר בזכות הטור שכתב עליהם מרטין גרדנר. מאז הם הפכו לאחד המקורות העשירים והפורים ביותר של חידות, ומשחקי מחשב (בין היתר המשחק טטריס, שהוא אחד המשחקים הפופולריים ביותר בכל הזמנים).
• בניות גאומטריות תלת־ממדיות: פאונים משוכללים, אוריגמי מודולרי
• תורת הגרפים היא נושא לשעשועי מתמטיקה רבים. היא כוללות חידות כגון חידת הגשרים של קניגסברג, בעיית הסוכן הנוסע, וכן נוסחאות שלהן שימוש רב בשעשועי מתמטיקה כגון נוסחת אוילר.
• פרקטלים - ראו שעשועים הקשורים למחשב.
• פלקסגון - רצועה המקופלת באופן שיוצר משושה בעל מספר רב של צדדים. הפלקסגון היה מקור ההשראה של ריצ'רד פיינמן ליצירת דיאגרמת פיינמן^[3].
• עקומת דרקון - פרקטל הדומה בצורתו לדרקון, אשר מורכב מעותקים מוקטנים של עצמו.

שלבי היצירה של פרקטל מסוג עקומת דרקון.

• בעיית לנגלי - מציאת גודל זווית

קישורים חיצוניים: Geometry Junkyard

שעשועים אריתמטיים

שעשועים אריתמטיים קשורים בתוצאות מעניינות ומפתיעות המתקבלות באמצעות פעולות אריתמטיות פשוטות על מספרים. דוגמאות לכך:

1 × 142,857 = 142,857 2 × 142,857 = 285,714 3 × 142,857 = 428,571 4 × 142,857 = 571,428 5 × 142,857 = 714,285 6 × 142,857 = 857,142 בסדרת מכפלות זו בבסיס עשרוני ניתן לראות כי ספרות המספר 142857 מופיעות בכל אחת מן התוצאות כאילו זזו לאורך ששת המקומות והספרות האחרונות במספר עברו אל תחילת הרצף.

• מספרים משוכללים: מספרים השווים לסכום המחלקים שלהם. המספר המשוכלל הקטן ביותר הוא 6=1+2+3 והבא אחריו הוא 28.
• מספרים ידידים: זוג מספרים שכל אחד מהם שווה לסכום מחלקיו של האחר (כאשר בין המחלקים אין סופרים את המספר עצמו).
• קבוע קפרקר: סדרה של פעולות אריתמטיות על מספר כלשהו בן ארבע ספרות, המסתיימת תמיד במספר 6174. ניתן להציג זאת גם כקסם של קריאת מחשבות שתמציתו: בחר מספר כלשהו בן 4 ספרות שאינן זהות, עשה פעולות אלה, חשוב היטב על התוצאה, נכון שהגעת ל-6174?
• מספר ערפד: מספר בן 2n ספרות עשרוניות הניתן להצגה כמכפלת שני מספרים המורכבים יחד מאותן ספרות (בערבוב הסדר); שני מספרים אלה נקראים ניבי הערפד. לדוגמה, 41*35 = 1435.
• מספר פרידמן: מספר טבעי שניתן לחישוב באמצעות הפעלת ארבע פעולות חשבון (חיבור, חיסור, כפל, חילוק) וחזקה על כל הספרות המשמשות לכתיבתו.

ביהדות התפתח ענף הגימטריה שקושר בין מילים למספרים, ומשמש גם כשעשוע בדרך של יצירת קשרים בין ביטויים בעלי גימטריה זהה.

כר נרחב לשעשועים מהוות סדרות של מספרים כגון: סדרת פיבונאצ'י, משולש פסקל, סדרת קונוויי ועוד.

תורת המספרים - ענף המתמטיקה החוקר את תכונותיהם של מספרים שלמים, מכילה נושאים רבים שהפכו לפופולריים. כגון:

• עובדות רבות הקשורות בתכונותיהם של מספרים ראשוניים ניתנות להסבר פשוט, גם כאשר ההוכחה מסובכת או אף לא ידועה. בין אלה ניתן לציין את ההוכחה לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, את הנפה של ארטוסתנס כדרך למציאת מספרים ראשוניים, וכן את השימוש הנרחב במספרים ראשוניים בהצפנה.

משחקים הקשורים למחשבים

המצאת המחשב פתחה צוהר לתחומים רבים בשעשועי מתמטיקה שלא היו קיימים קודם כגון:

משולש שרפינסקי, דוגמה לפרקטל

• פרקטלים - הוא שם לצורות שבעלות דמיון עצמי, ולרוב בעלות ממדים שאינם שלמים (ראה ממד האוסדורף). חלקם של הצורות הומצא זמן רב קודם לכן, אבל הם התגלו במלוא הדרם כאשר בנואה מנדלברוט (שעבד במעבדות IBM ולכן היה מהראשונים לקבל גישה למחשבים) השתמש בגרפיקה ממוחשבת על מנת להציג אותם. מנדלברוט גם אחראי על המצאת השם פרקטל. פרקטלים מרתקים בנושא שעשועי מתמטיקה בגלל תכונותיהם המוזרות, בגלל הדרכים הרבות ליצור כל פרקטל, הקשר שלהם לתופעות בטבע, והשימושיות שלהם בגרפיקה ממוחשבת. בין הפרקטלים המפורסמים אפשר למצוא את:
  • משולש שרפינסקי
  • פתית השלג של קוך
  • קבוצת מנדלברוט וקבוצת ז'וליה
  • קבוצת קנטור
• אוטומט תאי: מבוסס על רשת של תאים - המתפתחים על פי חוקים פשוטים: המצב של כל תא בדור הבא תלוי במצב שלו ושל שכניו בדור הקודם. את משולש פסקל ניתן לראות כאוטומט תאי חד-ממדי. האוטומט התאי המפורסם ביותר הוא משחק החיים של ג'ון קונויי.
• לוגו - שפת המחשב הקלאסית היא מקור לסוג חדש של גאומטריה (גאומטריית הצב) ולשעשועי מתמטיקה רבים.

הצפנה

שיטות הצפנה פותחו למטרות שימושיות של העברת מידע באופן בטוח, אך במהרה הפכו גם לנושא פופולרי של חידות הקשורות בבניית צפנים ובפיצוחם. הסופר האמריקאי אדגר אלן פו, למשל, היה חובב צפנים והכריז שהוא מסוגל לפרוץ כל צופן שיישלח אליו על ידי קוראיו. את רוב הצפנים הוא אכן הצליח לפרוץ בזכות הידע שלו בפענוח צופן החלפה (צופן שבהם כל אות מוחלפת באות אחרת).

במאה ה-20 נולד ענף הקריפטוגרפיה המודרנית עם הולדת הרעיון של הצפנה במפתח ציבורי, ועם יישומו באלגוריתם RSA, שפותח על ידי עדי שמיר, רונלד ריבסט ולאונרד אדלמן המבוסס על שימוש במספרים ראשוניים. הקריפטוגרפיה יצרה חידות רבות הנחשבות לקלסיות היום בתחום שעשועי המתמטיקה.

לוגיקה

חידות רבות העוסקות ב'אמת ושקר' נקראות לרוב חידות לוגיות. לדוגמה: 'לפניך שתי דלתות: אחת מובילה לאוצר, ואחת מובילה לגרדום. על כל דלת יש שומר, אחד מהם דובר אמת בלבד, והשני דובר שקר בלבד. איך ניתן בעזרת שאלה אחת בלבד לגלות מה הדלת המובילה לאוצר?'. המקור הפורה ביותר לחידות לוגיות מהסוג הזה הוא המתמטיקאי ריימונד סמוליאן.

חידת הכובעים

חידת הכובעים היא חידה לוגית המבוססת על מצבים שבהם מעורבים מספר משתתפים וידע חלקי, ועל כך שחוסר ידיעה של אחד המשתתפים מוסיף מידע למשתתפים אחרים.

מקור לשעשועים רבים הוא משפטים המדברים על עצמם. זהו מקור לאינספור פרדוקסים כגון: פרדוקס השקרן ("משפט זה הוא שקר"), פרדוקס בוחן הפתע ("בשבוע הבא יתקיים בוחן והוא יבוא בהפתעה"), הפרדוקס של ברי ("המספר הקטן ביותר שאינו ניתן לתיאור באמצעות פחות ממאה אותיות").

ישנם מספר ספרים של שעשועי מתמטיקה (גדל, אשר, באך, וכן ספרים של סמוליאן), המנסים לתת הבנה של משפטי האי-שלמות של גדל על סמך חידות הגיון ושעשועים הקשורים למשפטים המדברים על עצמם.

חידות נוספות

• חידות היגיון
• חידות אלגבריות
• ריבועי קסם וסודוקו

קשרים בין מתמטיקה לתחומים אחרים

אליס עומדת לשתות מהבקבוק ולהתכווץ (ובלשון המתמטיקה: לעבור שינוי טופולוגי)

מתמטיקה משחקת תפקיד חשוב כבסיס וכלי חשוב למדעים המדויקים, למוזיקה, לאומנות, לכלכלה ועוד. הנה כמה דוגמאות:

• לאונרדו דה וינצ'י השתמש רבות במתמטיקה בציור, בין השאר הוא ניסח את כללי הפרספקטיבה, והשתמש רבות ביחס הזהב בציוריו.
• ניתן למצוא הרבה רעיונות מתמטיים ביצירותיו המוזיקליות של יוהאן סבסטיאן באך.
• האמן מ.ק. אשר השתמש רבות ברעיונות מתמטיים ביצירותיו, ואכן מתמטיקאים היו בין הראשונים להכיר בגדולתו.
• המתמטיקאי צ'ארלס לוטווידג' דודג'סון, הידוע יותר כסופר לואיס קרול, היה חידונאי מוכשר שאף פרסם מספר ספרי חידות. יצירתו הרפתקאות אליס בארץ הפלאות מכילה רעיונות מתמטיים רבים ומהווה מקור השראה גדול לרבים העוסקים בשעשועי מתמטיים, וכמוה גם ספר ההמשך "מבעד למראה ומה אליס מצאה שם". דיון נרחב ברעיונות המתמטיים המופיעים ביצירתו של קרול, וברעיונות הנוטלים השראה מיצירה זו מופיע בספר The Magic of Lewis Carroll, שבעריכת John Fisher.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שעשועי מתמטיקה בוויקישיתוף

• המשפט האחרון של פרמה אתר חידות מתמטיות של דוד שי
• המעגל המתמטי אתר חידות מתמטיות ושעשועי מתמטיקה של צעירים במדע, מכון ויצמן למדע
• Geometry Junkyard
• שעשועי מתמטיקה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• שעשועים מתמטיים, דף שער בספרייה הלאומית

הערות שוליים

1. מקובל לבטא את שמה כ"ואי" שמתחרז עם "היי" אך גם ביטואו כ-"Vee" נחשב לתקין.
2. Chang, Kenneth (17 בינואר 2011), "Bending and Stretching Classroom Lessons to Make Math Inspire", New York Times .
   Bell, Melissa (17 בדצמבר 2010), "Making math magic: Vi Hart doodles her lessons", וושינגטון פוסט .
   Krulwich, Robert (16 בדצמבר 2010), I Hate Math! (Not After This, You Won't), National Public Radio .
3. Hilton, P., Pedersen, J., & Walser, H. (1997). The faces of the tri-hexaflexagon. Mathematics Magazine, 70(4), 243-251.