עקרון החיבוריות

עֶקְרוֹן הַחִיבּוּרִיּוּת בתורת המשחקים הוא תכונה של פתרון נקודתי למשחקים שיתופיים בצורה קואליציונית, ומהווה גם אחת מארבע התכונות המאפיינות את פתרון ערך שפלי.

הגדרה פורמלית

נאמר שפתרון ${\displaystyle \phi }$ מקיים את עקרון החיבוריות, אם לכל שני משחקים שיתופיים בצורה קואליציונית ${\displaystyle \left(N;v\right)}$ ו- ${\displaystyle \left(N;w\right)}$ מתקיים: ${\displaystyle \phi \left(N;v+w\right)=\phi \left(N;v\right)+\phi \left(N;w\right)}$

הצדקת עקרון החיבוריות

עקרון החיבוריות הוא כאמור תכונה שניתן לדרוש מפתרון למשחק שיתופי בצורה קואליציונית.

אם קבוצת שחקנים ${\displaystyle N}$ משחקת בשני משחקים שונים, ${\displaystyle \left(N;v\right)}$ ו-${\displaystyle \left(N;w\right)}$, הרי שכדי להשתתף במשחק ${\displaystyle \left(N;v\right)}$, שחקן ${\displaystyle i}$ יהיה מוכן לשלם ${\displaystyle \phi _{i}\left(N;v\right)}$, ובמשחק ${\displaystyle \left(N;w\right)}$, יהיה מוכן לשלם ${\displaystyle \phi _{i}\left(N;w\right)}$. העיקרון דורש ששחקן ${\displaystyle i}$ יסכים לשלם במשחק המחובר ${\displaystyle \left(N;v+w\right)}$ את ${\displaystyle \phi _{i}\left(N;v\right)+\phi _{i}\left(N;w\right)}$ - כלומר את מה שהסכים לשלם עבור שני המשחקים בנפרד.

שאלת קיום עקרון החיבוריות קובעת באיזו מידה תלוי המשחק המחובר במשחקים הבודדים, ביחס לפתרון המוצע.

דוגמה

נתבונן בשני המשחקים הבאים:

• ${\displaystyle \left(N;v\right)}$ הוא משחק הכפפות, כאשר לשחקן 1 יש את הכפפה השמאלית הנדירה.
• ${\displaystyle \left(N;w\right)}$ המוגדר באופן הבא:

  ${\displaystyle w(1,2,3)=1}$

  ${\displaystyle w(1,2)=1}$

  ${\displaystyle w(1,3)=1}$

  ${\displaystyle w(2,3)=0}$

  ${\displaystyle w(1)=2}$

  ${\displaystyle w(2)=0}$

  ${\displaystyle w(3)=0}$

כעת נגדיר פתרון באופן הבא: נבחר את הקואליציה בעלת השווי הגבוה ביותר, ונחלק את שוויה בין חבריה שווה בשווה. הפתרון הזה אינו מקיים את עקרון החיבוריות:

הפתרון למשחק ${\displaystyle \left(N;v\right)}$ הוא (1/3,1/3,1/3), והפתרון למשחק ${\displaystyle \left(N;w\right)}$ הוא (2/3,2/3,2/3).

אך, נקבל שהפתרון למשחק המחובר, הנתון על ידי:

${\displaystyle (w+v)(1,2,3)=2}$

${\displaystyle (w+v)(1,2)=2}$

${\displaystyle (w+v)(1,3)=2}$

${\displaystyle (w+v)(2,3)=0}$

${\displaystyle (w+v)(1)=2}$

${\displaystyle (w+v)(2)=0}$

${\displaystyle (w+v)(3)=0}$

גם הוא (2/3,2/3,2/3)! כלומר, אף שחקן לא יסכים לשלם עבור השתתפות במשחק המחובר, את הסכום שיסכים לשלם עבור השתתפות בשני המשחקים בנפרד. השתתפות במשחק המחובר מקטינה את הרווח של השחקנים בהשוואה להשתתפותם בשני המשחקים בנפרד.

פרשנות נוספת לעיקרון

נתבונן על סיטואציה בה יכולים השחקנים לשחק רק באחד המשחקים הבודדים, בהסתברות של ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ לכל אחד.

במקרה כזה, תחת ההנחה שתועלת שחקנים מהגרלות שווה לתוחלת הרווח מההגרלה, כל שחקן ${\displaystyle i}$ יהיה מוכן לשלם את התוחלת של הרווח שלו לפי פתרון ${\displaystyle \phi }$, כלומר, את הסכום ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\phi _{i}\left(N;v\right)+{\frac {1}{2}}\phi _{i}\left(N;w\right)}$.

שווי כל קואליציה ${\displaystyle S}$ בסיטואציה הזו הוא ${\displaystyle {\frac {1}{2}}v\left(S\right)+{\frac {1}{2}}w\left(S\right)}$, ולכן, נקבל את הדרישה ${\displaystyle \phi \left(N;{\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{2}}w\right)={\frac {1}{2}}\phi \left(N;v\right)+{\frac {1}{2}}\phi \left(N;w\right)}$.

זאת, בנוסף עם דרישת עקרון הקוואריאנטיות תחת שקילות אסטרטגית, שקול לדרישת עקרון החיבוריות.

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946