ספירלת ארכימדס

שלושה סיבובים מלאים של זרוע אחת של ספירלת ארכימדס

ספירלת ארכימדס מוצגת על מערכת קואורדינטות קוטביות. קרן היוצאת ממוקד הספירלה פוגשת סיבובים עוקבים של הספירלה בנקודות הרחוקות זו מזו מרחק קבוע (כאן 1)

ספירלת ארכימדס (מכונה גם ספירלה חשבונית) היא ספירלה הקרויה על שם המתמטיקאי היווני ארכימדס בן המאה ה-3 לפנה"ס, שתיאר ספירלה כזאת בספרו על ספירלות. ספירלת ארכימדס היא מקום גאומטרי של נקודות התואמות את המיקומים לאורך זמן של נקודה המתרחקת מנקודה קבועה במהירות קבועה לאורך קו המסתובב במהירות זוויתית קבועה. באופן שקול, ספירלת ארכימדס יכולה להיות מוגדרת בקואורדינטות קוטביות (r, θ) על ידי המשוואה

${\displaystyle \,r=a+b\theta }$

עם מספרים ממשיים a ו - b. שינוי הפרמטר a יגרום לסיבוב הספירלה, בעוד b שולט על המרחקים בין סיבובים עוקבים.

מאפיינים

קרן היוצאת מהמוקד של ספירלת ארכימדס פוגשת סיבובים עוקבים של הספירלה בנקודות הרחוקות זו מזו מרחק קבוע (השווה ל-2πb אם θ נמדד ברדיאנים). מכאן השם "ספירלה חשבונית". נבדלת ממנה הספירלה הלוגריתמית שבה מרחקים אלה יוצרים סדרה הנדסית.

לספירלת ארכימדס שתי זרועות, אחת עבור θ > 0 ואחת עבור θ < 0. שתי הזרועות מחוברות באופן חלק במוקד. האיורים כאן מראים רק זרוע אחת של הספירלה. את הזרוע השנייה ניתן לקבל על ידי תמונת מראה סביב ציר y במערכת הצירים המוצגת. 

עבור ערכי θ גדולים הנקודה מתקדמת לאורך הספירלה בתאוצה קבועה בקרוב רב. ראו אצל גיצ'ניקוב(הקישור אינו פעיל).

מרחק בין סיבובים

מספר מקורות מתאר את ספירלת ארכימדס כספירלה בעלת "מרחק מפריד קבוע" בין הסיבובים.^[1] תיאור זה מטעה במקצת, כיוון שהמרחקים הקבועים נמדדים בעזרת קרן היוצאת מהמוקד שאינה חוצה את הספירלה בזוויות ישרות. זאת בניגוד למרחק בין עקומים מקבילים הנמדד בעזרת אנכים לעקומים. קיים עקום ספירלי (אינוולוט) שונה במקצת מספירלת ארכימדס בו המרחקים בין הסיבובים העוקבים הם קבועים לפי הגדרת המרחק האחרונה עבור עקומים מקבילים.

ספירלת ארכימדס כללית

לפעמים המונח ספירלת ארכימדס משמש לתאר משפחה רחבה יותר של ספירלות מהצורה

${\displaystyle r=a+b\theta ^{1/c}.}$

כאשר  c = 1 מתקבלת ספירלת ארכימדס הרגילה. עקומים ספיראלים שאינם ארכימדים השייכים למשפחה זאת כוללים את הספירלה ההיפרבולית (c = -1), את ספירלת פרמה (c = 2), ואת ספירלת ליטוס (c = -2). כמעט כל הספירלות המופיעיות הטבע הן ספירלות לוגריתמיות ולא ארכימדיות. בכל זאת, ספירלות דינמיות רבות (כמו ספירלת פארקר של רוח השמש) הן ארכימדיות.

יישומים

ארכימדס הראה דרך לרבע את המעגל וגם לחלק זווית לשלוש זוויות שוות בעזרת ספירלת ארכימדס. הוכח כבר ששתי הפעולות האלה אינן אפשריות בעזרת סרגל ומחוגה בלבד.^[2]

מנגנון מדחס מגילות

לספירלת ארכימדס מגוון רחב של יישומים. מדחסי מגילות המשמשים לדחיסת גזים כוללים זוג אינוולוטים של מעגל בגודל זהה, הדומים מאוד לספירלת ארכימדס. ספירלת ארכימדס משמשת גם בקפיצי האיזון של שעונים ובחריצי תקליטים מוקדמים (אף על פי שמאוחר יותר נעשה שימוש גם בתקליטים עם מרחק משתנה בין החריצים כדי לאפשר את הגדלת כמות המוזיקה שניתן לשים בתקליט).

דרך אפשרית לעזור באבחון ובהערכת המידה של רעד נוירולוגי היא לבקש מהמטופל לצייר ספירלת ארכימדס. בספירלות ארכימדס נעשה גם שימוש במקרני DLP כדי להפחית את "תופעת הקשת". בנוסף, ספירלות ארכימדס משמשות בתעשיית המזון כדי להעריך את ריכוז החיידקים על צלוחית ספירלית. הן משמשות גם כדי למדל את הצורה הנוצרת מנייר או סרט בעל עובי קבוע העוטף גליל.

ראו גם

• ספירלה
• ספירלה לוגריתמית
• על ספירלות
• בורג ארכימדס

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ספירלת ארכימדס בוויקישיתוף

• ספירלת ארכימדס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. "successive turnings of the Archimedean spiral have a constant separation distance" Havil, Julian (2007). Nonplussed! Mathematical Proof of Implausible Ideas. Princeton, New Jersey: Princeton Universoty Press. p. 109. ISBN 978-0-691-12056-0.
2. Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 140–142. ISBN 0-691-02391-3.