מולר החל לשחק בגיל 11 בקבוצת הנוער של איינטרכט פרנקפורט, שם שיחק עד גיל 16. בגיל זה, בשנת 2003, הצטרף לגרויטר פירט, והחל משנת 2006 החל לשחק בקבוצות הבוגרות של המועדון. תחילה שיחק מולר בעיקר בקבוצת המילואים, וערך הופעות ספורות בקבוצה הבכירה, והושאל לחצי עונה לס.ו. זנדהאוזן ששיחקה בהליגה השלישית בפעם הראשונה בתולדותיה. החל מעונת 2009/10, לאחר שהציג יכולת טובה הן בקבוצת המילואים והן בזנדהאוזן, הפך מולר לשחקן הרכב קבוע בקבוצה הבכירה של גרויטר פירט, ששיחקה אז בליגת הבונדסליגה השנייה. בעונה זו הבקיע מולר שישה שערים, ובעונת 2010/11 הבקיע שבעה שערי ליגה. לאחר עונה זו, בה סיימה גרויטר פירט במקום הרביעי והחמיצה העפלה לבונדסליגה, הפך מולר לשחקן מבוקש, ובקיץ 2011 חתם במיינץ 05 מהבונדסליגה על חוזה לארבע שנים.
הופעת הבכורה של מולר במדי מיינץ 05 נערכה באוגוסט 2011 במשחק ליגה מול הנובר 96, אז החליף את אריק מקסים צ'ופו מוטינג. בדקה האחרונה. שלושה מחזורים אחר כך, פתח מולר לראשונה בהרכב מיינץ, במשחק ליגה מול בורוסיה דורטמונד, בו הבקיע מולר. בתום עונה זו, הבקיע מולר ארבעה שערי ליגה. שתי העונות הבאות של מולר היו טובות אף יותר, בהן הבקיע 19 שערים בכל המסגרות, וסייע למיינץ להתברג בחלק העליון של הבונדסליגה ואף לשחק במפעלים האירופיים. מולר, שאף זומן לסגל נבחרת גרמניה בתקופה זו, שיתף פעולה עם יוליאן באומגרטלינגר, אלקין סוטו, אנדראס איבנשיץ', יונוס מאלי ואדם שאלאי. בתום עונת 2013/14 נמכר מולר להמבורג, שם חתם על חוזה לארבע עונות.
את הבכורה בהמבורג ערך מולר בהפסד 0–2 להנובר 96 במחזור הפתיחה של עונת 2014/15. לאחר משחק זה פוטר מאמן המבורג מירקו סלומקה, והוחלף במאמן יוזף צינבאואר, שאיפשר למולר לפתוח בהרכב בתיקו 0-0 המפתיע מול באיירן מינכן. את שערו הראשון הבקיע מולר בהפסד 1–2 לאיינטרכט פרנקפורט בספטמבר 2014. בתום עונה זו, ניצלו מולר והמבורג מנשירה לבונדסליגה השנייה לראשונה בתולדות המועדון, לאחר שניצחו במפגש כפול את קרלסרוהה שסיימה שלישית בבונדסליגה השנייה. מולר לא שיחק במשחק הראשון בהמבורג, שהסתיים בתיקו 1-1. משחק הגומלין היה דרמטי במיוחד, כאשר קרלסרוהה הובילה עד לדקת הסיום. מולר נכנס כמחליף בדקה ה-77 במקומו של איביצה אוליץ', והיה שותף לשער השוויון של מרסלו דיאס בתוספת הזמן, שמנע ירידה מהמבורג וגרר את המשחק להארכה. בדקה ה-115 של המשחק, הבקיע מולר את שער הניצחון להמבורג והשאיר אותה בליגה. על אף זאת, עונת 2014/15 הייתה עונה חלשה יחסית עבור מולר, בה הבקיע שער אחד בלבד. בעונת 2015/16 הבקיע מולר תשעה שערי ליגה, וסייע להמבורג לסיים במקום העשירי, הרחק ממאבקי התחתית, בהם השתתפה הקבוצה באופן קבוע בעונות הקודמות. בעונת 2016/17 מולר והמבורג שוב הידרדרו למאבקי תחתית, ונשארו בליגה לבסוף, בעונה בה מולר הבקיע חמישה שערים. במחזור הראשון של עונת 2017/18 הבקיע מולר שער ניצחון כבר בדקה השמינית במשחק מול אאוגסבורג. מולר חגג את השער ובעת החגיגות התנגש בדגל הקרן, וספג פציעה ברצועה הצולבת הקדמית, שבגינה החמיץ כמעט את כל העונה. המבורג נשרה בסיום העונה לבונדסליגה השנייה לראשונה בתולדותיה, ומולר עזב את המועדון.
ביולי 2018 חתם מולר באיינטרכט פרנקפורט, אליה עבר בהעברה חופשית מהמבורג. במשחק הבכורה שלו בבונדסליגה במדי פרנקפורט, הבקיע מולר שער בניצחון של פרנקפורט 2-0 על פרייבורג. עד למחצית עונת 2018/19 ערך מולר שבע הופעות ליגה במדי איינטרכט פרנקפורט והבקיע שני שערים. בינואר 2019 הושאל מולר להנובר 96 מהבונדסליגה עד לתום העונה. מולר הבקיע שלושה שערים במדי הקבוצה, אך לא הצליח למנוע את נשירתה לבונדסליגה השנייה. בתום ההשאלה חזר מולר לאיינטרכט פרנקפורט.
קריירה בינלאומית
בזכות יכולתו הטובה בעונת 2012/13, זומן מולר לסגל נבחרת גרמניה לשני משחקי ידידות שנערכו בארצות הברית, על ידי המאמן יואכים לב. במשחק הראשון, במאי 2013, ניצחה גרמניה 2–4 את נבחרת אקוודור, כשמולר נכנס כמחליף בדקות הסיום. המשחק השני התקיים מול נבחרת ארצות הברית, שניצחה את גרמניה בתוצאה 3–4. גם במשחק זה מולר זכה לדקות בודדות. לאחר שתי הופעות אלו, מולר לא זומן עוד לנבחרת.
