נוסחת הרון

בגאומטריה, נוסחת הֵרון משמשת לחישוב שטח של משולש על-פי אורכי שלוש צלעותיו. הנוסחה קובעת שהשטח הוא ${\displaystyle \mathrm {area} ={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}}$, כאשר b ,a, ו-c הם אורכי הצלעות, ו-${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ היא מחצית ההיקף.

אי-שוויון המשולש מבטיח שכל הביטויים תחת סימן השורש חיוביים.

היסטוריה

גילוי הנוסחה מיוחס להרון מאלכסנדריה במאה הראשונה, והוכחה לנוסחה מופיעה בספרו "מטריקה" (Metrica). אף על פי כן, כיום מאמינים כי ארכימדס כבר הכיר את הנוסחה ואף ייתכן כי הנוסחה הייתה ידועה זמן רב קודם לכן. המתמטיקאי הסיני צ'ין ג'יו-האו גילה אותה מחדש במאה ה-13.

הוכחה

להלן הוכחה מודרנית הנעזרת באלגברה ובטריגונומטריה. הוכחה זו שונה למדי מההוכחה שניתנה על ידי הרון.

נניח כי a, b, c מייצגות את צלעות המשולש, וכי A, B, C מייצגות את הזוויות הנגדיות להן, בהתאמה. על פי משפט הקוסינוסים

${\displaystyle \cos(C)={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$.

באמצעות שימוש באלגברה מגיעים ל-:

${\displaystyle \sin(C)={\sqrt {1-\cos ^{2}(C)}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}}$.

הגובה לבסיס a הוא (bsin(C, ומכאן נובע ש-:

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})}$	${\displaystyle S\,}$
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}ab\sin(C)}$
${\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}$
${\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}}$
${\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))((c+(a-b))((a+b)-c))((a+b)+c)}}}$
${\displaystyle ={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.}$

כאשר s מוגדר כ-:

${\displaystyle \ s={\frac {a+b+c}{2}}}$

הכללה

נוסחת הרון היא למעשה מקרה פרטי של נוסחת ברהמגופטה (Brahmagupta's formula) לשטח של מרובע החסום במעגל, ושניהם הם למעשה מקרים פרטיים של נוסחת ברטשניידר לשטח של מרובע.

הצגת נוסחת הרון באמצעות דטרמיננטה במונחים של ריבועי המרחקים בין שלושה קודקודים,

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}$

ממחישה את הדמיון לנוסחת טרטליה עבור נפח של פירמידה משולשת.

יציבות מספרית

נוסחת הרון כפי שהוצגה לעיל אינה יציבה מספרית עבור משולשים בעלי זווית קטנה מאוד, בחישוב העושה שימוש בנקודה צפה. חלופה יציבה מצריכה סידור מחדש של צלעות המשולש, כך ש-a ≥ b ≥ c וחישוב של הנוסחה

${\displaystyle S=1/4{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}}$

הסוגריים הכרחיים למניעת אי יציבות מספרית בהערכה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא נוסחת הרון בוויקישיתוף

• הוכחה גאומטרית לנוסחת הרון (אנגלית)
• נוסחת הרון, באתר MathWorld (באנגלית)