משפט H

משפט H הוא משפט מתחום המכניקה הסטטיסטית שהוצג לראשונה על ידי החוקר האוסטרי לודוויג בולצמן בשנת 1872. המשפט מתאר את הנטייה של כמות ה-H (אשר יוסבר להלן) במולקולות גז אידיאלי לִפְחוׂת. מאחר שכמות ה-H נועדה לייצג את האֶנְטְרוֹפּיה, המשפט היווה דוגמה ראשונית לכוחה של המכניקה הסטטיסטית הואיל והוא התיימר לנבא את החוק השני של תרמודינמיקה. מקובל לחשוב שמשפט H מוכיח את החוק השני של תרמודינמיקה, אם כי תחת ההנחה של תנאי התחלה עם אֶנְטְרוֹפּיה נמוכה.

שם והגייה

בחיבורו המקורי משתמש בולצמן באות E (המייצגת לרוב את המושג אנטרופיה) לייצוג הפונקציה הסטטיסטית שלו. היה זה דווקא החוקר סמואל האקסוולי בורברי, ממבקריו של המשפט, שייצג אותה באמצעות האות H. כתיבה זו התקבלה מאוחר יותר על ידי בולצמן עצמו. המשפט בדרך כלל נהגה כ-"משפט אייצ'" אך לפעמים קרוי "משפט אטא" כדי להבדיל את האות H היוונית מזו הלטינית. בעבר התקיים דיון בנוגע לאופן השימוש וההבנה של הסמל, אך אין תשובה חד משמעית בעניין מאחר שמעטים הכתבים המקוריים מאותה תקופה. חקר טיפוגרפי של כתביו של ג'וסיה וילארד גיבס תורמים להנחה שמדובר ב-H היוונית, אטא.

הגדרה ומשמעות ה-H של בולצמן

הערך של H נגזר מהפונקציה: f(E, t) dE, שהיא פונקציית התפלגות האנרגיה של המולקולות בזמן t. הערך f(E, t) dE הוא מספר המולקולות שנושאות אנרגיה קינטית בין E לבין E + dE. ה-H עצמו מוגדר כך:

ה-H של בולצמן

עבור גז אידיאלי מבודד (עם אנרגיה כללית קבועה ומספר חלקיקים קבוע), הפונקציה H תמצא במינימום כאשר אנרגיית המולקולות מתפלגת לפי התפלגות מקסוול-בולצמן; אם האחרונה מתפלגות באופן אחר (למשל, אם לכולן יש את אותה אנרגיה קינטית), אז הערך H יהיה גבוה יותר. משפט H של בולצמן אשר יתואר בסעיף הבא, טוען שכאשר מתאפשרות התנגשויות בין מולקולות, כל התפלגות שאינה התפלגות מקסוול-בולצמן איננה יציבה, ולכן נוטה לחתור לעבר ערך מינימלי של H (כלומר לעבר התפלגות מקסוול-בולצמן). (הערה על סימונים: תחילה השתמש בולצמן באות E כדי לסמן את הכמות H. עם זאת, ברוב הכתיבה המחקרית העוסקת בתחום המכניקה הסטטיסטית נעשה שימוש באות H כפי שנעשה בערך זה)

במודל המכני של הגז המוצג לעיל תנועת המולקולות אקראית. בולצמן הראה כי בהנחה שכל ההתנגשויות בין מולקולות הגז הן אקראיות ובלתי תלויות, הגז מתכנס להתפלגות מקסוול-בולצמן, גם אם זו לא הייתה ההתפלגות ההתחלתית שבה התאפיין.

משפט H של בולצמן

בולצמן בחן הליכי התנגשות בין 2 חלקיקים. על פי חוקי המכניקה הקלאסית, בעת התנגשות אלסטית בין 2 חלקיקים, האנרגיה המועברת בין שניהם משתנה בהתאם לתנאים ההתחלתיים של הבעיה (כמו זווית ההתנגשות, ומהירות החלקיקים). בולצמן הניח הנחה הידועה בשם Stosszahlansatz (היא הנחת הכאוס מולקולרי), לפיה בכל מקרה של התנגשות מולקולות גז, שני החלקיקים המשתתפים בהתנגשות מתאפיינים ב: 1. אנרגיה קינטית "הנבחרת" אקראית על פי ההתפלגות הנתונה. 2. כיווני מהירות בלתי תלויים. 3. נקודות התחלה בלתי תלויות. תחת הנחות אלו ובהתחשב בחוקי המכניקה הקלאסית, האנרגיות של החלקיקים לאחר ההתנגשות יתפלגו לפי פונקציית התפלגות חדשה הניתנת לחישוב. תחת הנחה של התנגשויות חוזרות ונשנות ובלתי תלויות בין מולקולות הגז, בולצמן ניסח את המשוואה הקינטית שלו, הידועה בשם "משוואת בולצמן". מסקנה המתקבלת באופן טבעי ממשוואה זו היא שבתהליך ממושך של התנגשויות בין מולקולות גז, כמות ה-H תפחת עד אשר תגיע לערכה המינימלי.

השפעה

אף על פי שהתברר שמשפט H של בולצמן לא מצליח להוכיח את החוק השני של תרמודינמיקה, בשונה משנטען לגביו תחילה, הוא הוביל את בולצמן בשנים האחרונות של המאה ה-19 לנסח עוד טענות הסתברותיות רבות על טבעה של התרמודינמיקה. בהמשך לדרכו הענפה של בולצמן בפיתוח הגישה ההסתברותית של התרמודינמיקה, האחרונה הגיעה לשיאה ב-1902 עם פרסומה של המכניקה הסטטיסטית של ג'וסיה וילארד גיבס, שתקפותה התרחבה למערכות כלליות ולא רק לגז. המשוואה הקינטית של בולצמן והנחת הכאוס המולקולרי שהניח היוו בסיס לפיתוח של שורה ארוכה של משוואות בתחום המכניקה הסטטיסטית, מתוכן כמה נמצאות בשימוש נרחב עוד בימינו. במקרים רבים הנחת הכאוס המולקולרי מדויקת להפליא. במקרים אלו היא מאפשרת להזניח קשרים אנרגטיים מורכבים בין החלקיקים, ובכך להקל משמעותית על חישובים. כמו כן, בכוחו של משפט ה-H להסביר גם את תנועתן של מערכות תרמודינמיות למצב של שיווי משקל תרמי.

ראו גם

• פרדוקס לושמידט
• חץ הזמן
• החוק השני של התרמודינמיקה
• משפט הפלקטואציות

לקריאה נוספת

• Lifshitz, E. M.; Pitaevskii, L. P. (1981). Physical Kinetics. Course of Theoretical Physics. Vol. 10 (3rd ed.). Pergamon. ISBN 978-0-08-026480-6.
• Waldram, J. R. (1985). The Theory of Thermodynamics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28796-8.
• Tolman, R. C. (1938). The Principles of Statistical Mechanics. Oxford University Press.
• Gull, S. F. (1989). "Some Misconceptions about Entropy". In Buck, B.; Macaulay, V. A (eds.). Maximum Entropy in Action. Oxford University Press (פורסם ב-1991). ISBN 978-0-19-853963-6. אורכב מ-המקור ב-2012-02-04.
• Reif, F. (1965). Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-051800-1.
• Gleick, J. (2011). The Information: A History, a Theory, a Flood. Random House Digital. ISBN 978-0-375-42372-7.
• Huang, Kerson (1987). Statistical Mechanics, 2ed. Random House Digital. ISBN 978-0-471-81518-1.
• Badino, M. (2011). "Mechanistic Slumber vs. Statistical Insomnia: The early history of Boltzmann's H-theorem (1868–1877)". European Physical Journal H. 36 (3): 353–378. Bibcode:2011EPJH...36..353B. doi:10.1140/epjh/e2011-10048-5.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט H בוויקישיתוף