משפט קזוראטי-ויירשטראס

משפט קזוראטי-ויירשטראס הוא משפט מתמטי מתחום הפונקציות המרוכבות, הנותן מידע בדבר תמונת פונקציה הולומורפית בסביבה של נקודת סינגולריות עיקרית.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האיטלקי פליס קזוראטי (אנ') והמתמטיקאי הגרמני קארל ויירשטראס. בספרות מתמטית רוסית המשפט קרוי משפט סוחוצקי, על שם המתמטיקאי הרוסי-פולני יוליאן סוחוצקי (אנ').

ניסוח

תהי ${\displaystyle f}$ פונקציה הולומורפית בתחום ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$, מלבד נקודת סינגולריות עיקרית אחת ${\displaystyle z_{0}\in U}$. אזי לכל סביבה ${\displaystyle V\subset U}$ של ${\displaystyle z_{0}}$, הקבוצה ${\displaystyle f(V\ \backslash \ \{z_{0}\})}$ צפופה במישור המרוכב. למעשה קובע המשפט כי תנאי זה שקול להיות ${\displaystyle z_{0}}$ נקודת סינגולריות עיקרית של ${\displaystyle f}$.

משפט פיקארד מחזק את המשפט, וקובע שתמונת פונקציה הולומורפית בסביבה נקובה של נקודת סינגולריות עיקרית, היא לא רק צפופה אלא ממש שווה למישור המרוכב כולו פרט אולי לנקודה אחת.

הוכחה

ההוכחה היא על דרך השלילה.

נניח בשלילה, שקיימת סביבה ${\displaystyle S}$ של הנקודה ${\displaystyle z_{0}}$, בה ${\displaystyle f}$ אנליטית פרט לנקודת סינגולריות עיקרית ${\displaystyle z_{0}}$, ו-${\displaystyle f(S)}$ לא צפופה במישור המרוכב.

כידוע, קבוצה היא צפופה במרחב אם ורק אם היא פוגשת כל קבוצה פתוחה. לכן, קיימים ${\displaystyle a\in C}$ ו-${\displaystyle r>0}$, כך ש-${\displaystyle f(S)\cap B(a,r)=\phi }$ (כאשר ${\displaystyle B(a,r)}$ הוא כדור פתוח ברדיוס ${\displaystyle r}$ סביב הנקודה ${\displaystyle a}$).

לכן, לכל ${\displaystyle z\in S}$, מתקיים ${\displaystyle f(z)\notin B(a,r)}$, לכן ${\displaystyle |f(z)-a|>r}$. לכן, בקבוצה ${\displaystyle S}$ מוגדרת הפונקציה ${\displaystyle r(z)={\frac {1}{f(z)-a}}}$. מהגדרתה, הפונקציה אנליטית באופן מיידי בכל ${\displaystyle S}$ פרט אולי ל-${\displaystyle z_{0}}$.

באשר ל-${\displaystyle z_{0}}$, הפונקציה חסומה סביבה: ${\displaystyle |r(z)|<{\frac {1}{r}}}$, לכן ${\displaystyle z_{0}}$ נקודה סינגולרית סליקה של ${\displaystyle r}$. לכן קיים ${\displaystyle L\in C}$, כך ש-${\displaystyle \lim _{z\rightarrow {z}_{0}}{r(z)}=L}$.

נפריד למקרים - אם ${\displaystyle L\neq 0}$, אז מכך ש-${\displaystyle f(z)=a+{\frac {1}{r(z)}}}$ נקבל ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow {z}_{0}}{f(z)}=a+{\frac {1}{L}}}$.

אחרת, אם ${\displaystyle L=0}$ נקבל כי ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow {z}_{0}}{f(z)}=\infty }$. שני המקרים מובילים לסתירה, שכן גבול הפונקציה בנקודה סינגולרית עיקרית לא קיים כלל.

דוגמה

• נביט בפונקציה האנליטית ${\displaystyle {e}^{\frac {1}{z}}:\mathbb {C} -\{0\}\rightarrow \mathbb {C} }$. ניתן לוודא על ידי פתרון ישיר, כי תמונת הפונקציה היא ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0\}}$. תוצאה זו צפויה ממשפט פיקארד, שכן לא ייתכן שהנקודה 0 תתקבל, ולכן כל שאר הנקודות חייבות להתקבל. בפרט, התמונה ודאי צפופה ב-${\displaystyle \mathbb {C} }$.

ראו גם

משפטי פיקארד