משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות

סקיצת ההעתקה ליניארית בין מרחבים וקטוריים, עם תיאור הגרעין והתמונה

משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות הוא משפט באלגברה ליניארית העוסק בשוויון עבור העתקה ליניארית בין מימד התחום לבין מימד תמונת וגרעין ההעתקה הליניארית.

בכתיב מתמטי: יהיו ${\displaystyle U}$ ו-${\displaystyle V}$ מרחבים וקטורים מעל שדה ${\displaystyle F}$. נגדיר את ${\displaystyle f}$ להיות העתקה ליניארית, ${\displaystyle f:U\rightarrow V}$, אזי $${\displaystyle \dim _{F}Im(f)+\dim _{F}\ker(f)=\dim _{F}U}$$.

הוכחת המשפט

אסטרטגיה

נבחר בסיסים שמכילים מספר וקטורים מסומן כללי עבור התמונה וכך גם עבור הגרעין, ונראה שמקורות הווקטורים בבסיס התמונה מצורפים יחד עם וקטורי הבסיס של הגרעין מהווים בסיס עבור התחום. מכך, ינבע שסכום מספר הווקטורים בבסיס של הגרעין ומספר הווקטורים בבסיס התמונה (שזה אותו מספר הווקטורים שהם המקורות) שווה למספר הווקטורים בתחום. מכאן ינבע כי סכום מימד התמונה ומימד הגרעין שווה למימד התחום של העתקה ליניארית, כנדרש.

הוכחה

בחירת סדרות וקטורים מתאימות

נקח את ${\displaystyle u_{1},...,u_{k}}$ להיות הבסיס של גרעין ההעתקה, ואת ${\displaystyle v_{1},...,v_{m}}$ להיות הבסיס של תמונת ההעתקה. מכאן, מימד הגרעין הוא ${\displaystyle k}$ ומימד התמונה הוא ${\displaystyle m}$. נשים לב לכך שלכל וקטור בתמונה יש מקור מהתחום, כלומר ניתן לרשום את ${\displaystyle v_{1},...,v_{m}}$ כך: ${\displaystyle f(w_{1}),...,f(w_{m})}$, (כאשר ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{m}}$ וקטורים ב-${\displaystyle U}$). צריך להוכיח שמימד התחום הוא ${\displaystyle m+k}$. נעשה זאת על ידי הוכחה כי סדרת וקטורים ${\displaystyle w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}}$ מהווה בסיס של התחום ${\displaystyle U}$.

הוכחה כי סדרת הווקטורים פורשת את המרחב ${\displaystyle U}$

נראה כי ${\displaystyle Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})=U}$. תחילה, נראה כי ${\displaystyle Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\subseteq U}$: כל וקטור בסדרת הווקטורים ${\displaystyle w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}}$ מוכל ב-${\displaystyle U}$ בפני עצמו (שכן הגרעין הוא קבוצת וקטורים מהתחום, וגם המקורות של התמונה הם קבוצת וקטורים מהתחום), ולכן ${\displaystyle Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\subseteq U}$. כעת, נראה כי ${\displaystyle Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\supseteq U}$: נקח וקטור כללי מ-${\displaystyle U}$ ונסמנו ${\displaystyle u}$. נתבונן בהצגה היחידה של ${\displaystyle f(u)}$ על ידי בסיס התמונה: ${\displaystyle f(u)=a_{1}\cdot v_{1}+...+a_{m}\cdot v_{m}}$. כעת, נתבונן בוקטור $${\displaystyle u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m})\in U}$$ (ששייך ל-${\displaystyle U}$, מכיוון ש-${\displaystyle U}$ הוא תת-מרחב וקטורי, ולכן סגור לחיבור ולכפל בסקלר). נפעיל את ההעתקה ${\displaystyle f}$ על הווקטור בו אנו מתבוננים ונראה שהואיל ו-${\displaystyle f}$ היא העתקה ליניארית, כלומר משמרת חיבור וכפל בסקלר, מתקיים: $${\displaystyle f(u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m}))=f(u)-(a_{1}\cdot f(w_{1})+...+a_{m}\cdot f(w_{m}))=a_{1}\cdot v_{1}+...+a_{m}\cdot v_{m}-(a_{1}\cdot v_{1}+...+a_{m}\cdot v_{m})=0}$$ לכן נובע ש-${\displaystyle u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m})\in \ker(f)}$, ולכן יש לו ייצוג על ידי צירוף וקטורי בסיס הגרעין: $${\displaystyle u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m})=b_{1}\cdot u_{1}+...+b_{k}\cdot u_{k}}$$ולאחר העברת אגפים נקבל את הייצוג של ${\displaystyle u}$ על ידי צירוף הווקטורים ${\displaystyle w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}}$:

$${\displaystyle u=a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m}+b_{1}\cdot u_{1}+...+b_{k}\cdot u_{k}}$$

ולכן, ${\displaystyle Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\supseteq U}$. קיבלנו הכלה דו כיוונית ומכאן ${\displaystyle Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})=U}$.

הוכחה כי סדרת הווקטורים בלתי תלויים ליניארית

כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים ${\displaystyle c_{1},...,c_{m},s_{1},...,s_{k}}$ הצירוף הליניארי של הווקטורים ${\displaystyle w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}}$ מביא לאפס המרחב הווקטורי. צריך להוכיח כי ${\displaystyle c_{1}=...=c_{m}=s_{1}=...=s_{k}=0_{F}}$ (תנאי שקול לאי תלות ליניארית). לפי הנחה זו: $${\displaystyle c_{1}w_{1}+...+c_{m}w_{m}+s_{1}u_{1}+...+s_{k}u_{k}=0_{U}}$$ נפעיל על השוויון את ההעתקה הליניארית ${\displaystyle f}$: $${\displaystyle f(c_{1}w_{1}+...+c_{m}w_{m}+s_{1}u_{1}+...+s_{k}u_{k})=c_{1}f(w_{1})+...+c_{m}f(w_{m})+0+...+0=c_{1}v_{1}+...+c_{m}v_{m}=0}$$ (הווקטורים של בסיס הגרעין שייכים לגרעין ולכן הפעלת ההעתקה עליהם מביאה לאפס.וכל העתקה ליניארית על וקטור האפס שווה ל-0). ואם כן מכיוון ש-${\displaystyle v_{1},...,v_{m}}$ בסיס של התמונה, אזי המקדמים ${\displaystyle c_{1},...,c_{m}}$ הם אפסים (מכיוון שהווקטורים ${\displaystyle v_{1},...,v_{m}}$ בלתי תלויים ליניארית). ואז, נחזור לביטוי המקורי ונקבל ${\displaystyle 0\cdot w_{1}+...+0\cdot w_{m}+s_{1}u_{1}+...+s_{k}u_{k}=0_{U}}$ ומאותם שיקולים של היות ${\displaystyle u_{1},...,u_{k}}$ בסיס, נובע ש-${\displaystyle s_{1},...,s_{k}}$ אפסים. ולכן כל הסקלרים המקדמים הם בהכרח 0, ולכן קיבלנו ש-${\displaystyle w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}}$ בלתי תלוים ליניארית, כנדרש.

סיכום

הראנו ש-${\displaystyle w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}}$ סדרת וקטורים בלתי תלויה ליניארית שפורשת את ${\displaystyle U}$ ולכן הם מהווים בסיס עבור ${\displaystyle U}$. אם כן, נשים לב שמימדו של ${\displaystyle U}$ הוא ${\displaystyle m+k}$. נזכור כי בתחילת ההוכחה הגדרנו את מימד התמונה להיות ${\displaystyle m}$ ומימד הגרעין להיות ${\displaystyle k}$, אזי לפיכך נקבל: $${\displaystyle \dim _{F}Im(f)+\dim _{F}\ker(f)=\dim _{F}U}$$ שזה מה שצריך להוכיח.

קישורים חיצוניים

• Chris Fama, MP274 Lecture Notes 1991, numbertheory
• משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות, באתר MathWorld (באנגלית)