משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו

באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.

ניסוח המשפט

תהי ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$אלברת בנך ונסמן ב ${\displaystyle G({\mathcal {A}})}$את אוסף האיברים ההפיכים על ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. נסמן ב e את איבר היחידה ב ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. בבירור צריך להתקיים ש ${\displaystyle F(e)=1}$ וכן ש ${\displaystyle F(x)\neq 0}$ לכל x ב ${\displaystyle G({\mathcal {A}})}$. לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:

כל פונקציונל על ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ המקיים ${\displaystyle \phi (e)=1,\phi (x)\neq 0\forall x\in G({\mathcal {A}})}$ הוא בהכרח רציף וכפלי.

הוכחה

לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:

עובדה: יהי ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$כך ש ${\displaystyle \|x\|<1}$אז ${\displaystyle x-e}$ הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של ${\displaystyle \sum _{k}x^{k}}$ היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי).

למה: תהי f פונקציה שלמה המקיימת ${\displaystyle f(0)=1,f'(0)=0,0<|f(\lambda )|\leq e^{|\lambda |}}$ אז ${\displaystyle f\equiv 1}$.

הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g. מהנתונים נקבל ש ${\displaystyle g(0)=g'(0)=0}$ וכן ${\displaystyle \Re (g(\lambda ))\leq |\lambda |}$. יהי r>0. נקבל מהאי שוויון הקודם שלכל ${\displaystyle |\lambda |\leq r}$, ${\displaystyle |g(\lambda )|\leq |2r-g(\lambda )|}$. נגדיר את הפונקציה הבאה:

${\displaystyle h_{r}(\lambda ):={\tfrac {r^{2}g(\lambda )}{\lambda ^{2}(2r-g(\lambda ))}}}$. אזי h אנליטית במעגל ברדיוס ${\displaystyle 2r}$. כמו כן אם ${\displaystyle |\lambda |=r}$אז נקבל ש${\displaystyle |h_{r}(\lambda )|\leq 1}$. כעת מעקרון המקסימום, ${\displaystyle |h_{r}(\lambda )|\leq 1}$ לכל ${\displaystyle |\lambda |\leq r}$. נשאיף ${\displaystyle r\to \infty }$ונקבל שבהכרח g=0.

הוכחת המשפט:

יהי ${\displaystyle N=\ker(\phi )}$. יהו ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {A}}}$ההנחה ש ${\displaystyle \phi (e)=1}$גוררת שאפשר לרשום ${\displaystyle x=a+\phi (x)e,y=b+\phi (y)e}$כאשר ${\displaystyle a,b\in N}$. ${\displaystyle \phi (xy)=\phi (ab)+\phi (x)\phi (y)}$ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש ${\displaystyle a,b\in N\Rightarrow ab\in N}$.נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר ${\displaystyle a\in N\Rightarrow a^{2}\in N}$. נקבל ש ${\displaystyle \phi (x^{2})=\phi (x)^{2}}$. נציב x+y במקום x ונקבל ש ${\displaystyle \phi (xy+yx)=2\phi (x)\phi (y)}$. לכן ${\displaystyle x\in N\Rightarrow xy+yx\in N}$. נתבונן בזהות הבאה: ${\displaystyle (xy-yx)^{2}+(xy+yx)^{2}=2(x(yxy)+(yxy)x)}$.

נניח ש ${\displaystyle x\in N}$. מהטענה הקודמת ומההנחה ש ${\displaystyle a\in N\Rightarrow a^{2}\in N}$ נקבל שצד ימין וכן ${\displaystyle (xy+yx)^{2}}$ב N. לכן ${\displaystyle (xy-yx)^{2}}$ב N וכיוון ש ${\displaystyle \phi (x^{2})=\phi (x)^{2}}$נקבל ש ${\displaystyle xy-yx}$ב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.

נוכיח כעת ש ${\displaystyle \phi }$רציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, ${\displaystyle \|x-e\|\geq 1\forall x\in N}$. לכן לכל ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,x\in N}$ ${\displaystyle \|x-\lambda e\|\geq |\lambda |=|\phi (x-\lambda e)|}$ לכן נסיק ש ${\displaystyle \phi }$רציף ומנורמה 1.

נשאר להוכיח ש ${\displaystyle a\in N\Rightarrow a^{2}\in N}$. נקבע ${\displaystyle a\in N}$. ללא הגבלת הכלליות, ${\displaystyle \|a\|=1}$. נגדיר ${\displaystyle f(\lambda ):=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {\phi (a^{n})\lambda ^{n}}{n!}}}$. כיוון ש ${\displaystyle |\phi (a^{n})|\leq \|a^{n}\|\leq \|a\|^{n}=1}$נקבל ש f שלמה ומקיימת ${\displaystyle |f(\lambda )|\leq e^{|\lambda |}}$ בבירור ${\displaystyle f(0)=1,f'(0)=\phi (a)=0}$. נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה ${\displaystyle E(\lambda ):=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {\lambda ^{n}}{n!}}a^{n}}$ מתכנסת בנורמה ומרציפות ${\displaystyle \phi }$ נקבל ש ${\displaystyle f(\lambda )=\phi (E(\lambda ))}$ הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: ${\displaystyle E(\lambda _{1}+\lambda _{2})=E(\lambda _{1})E(\lambda _{2})}$(אותה הוכחה). בפרט ${\displaystyle e=E(0)=E(\lambda )E(-\lambda )}$. לכן

לכל ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle E(\lambda )}$הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת. מהלמה נקבל ש ${\displaystyle f\equiv 1}$ובפרט ${\displaystyle \phi (a^{2})=f''(0)=0}$וקיבלנו את הדרוש.

ראו גם

• אלגברת בנך

לקריאה נוספת

• רודין. וולטר, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-Hill.

קישורים חיצוניים

• משפט גליסון-קיין-זלזקו, באתר האנציקלופדיה למתמטיקה.