משוואת ליין-אמדן

פתרונות נומריים של משוואת ליין-אמדן עבור n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

באסטרופיזיקה, משוואת ליין-אמדן (באנגלית: Lane-Emden equation) היא סוג של משוואת פואסון עבור הפוטנציאל הכבידתי של זורם (בדרך כלל גז) פוליטרופי המצוי בשיווי משקל הידרוסטטי במערכת בעלת כבידה עצמית המפוזרת בצורה כדורית סימטרית, בדרך כלל כוכב. היא נקראת על שם האסטרופיזיקאים ג'ונתן הומר ליין ורוברט אמדן.

המשוואה מתארת את פרופיל הצפיפות (ובזכות המשוואה הפוליטרופית, גם את הלחץ) כתלות ברדיוס. המשוואה עצמה היא:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta ^{2}}}{\frac {d}{d\zeta }}\left({\zeta ^{2}{\frac {d\theta }{d\zeta }}}\right)+\theta ^{n}=0}$

כאשר זטא מוגדרת על ידי

${\displaystyle \zeta =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}={\frac {r}{a}}}$

והיא פרמטר חסר ממדים המתאר את הרדיוס, ותטא מוגדרת על ידי

${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}\,}$

והיא פרמטר חסר ממדים המתאר את הצפיפות, כאשר האינדקס c מציין שהצפיפות (והלחץ) נמדדים במרכז הכוכב.

החזקה n היא האינדקס הפוליטרופי של משוואת המצב הפוליטרופית:

${\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}\,}$

פיזיקלית, שיווי משקל הידרוסטטי מקשר את גרדיאנט הפוטנציאל, את הצפיפות ואת גרדיאנט הלחץ, בעוד שמשוואת פואסון מקשרת את הפוטנציאל עם הצפיפות. ממשוואה זו עולה שמספיק לדעת את הקשר בין הלחץ והצפיפות כדי להגיע לפתרון ולהסיק משהו לגבי מבנה הכוכב. הבחירה הספציפית במודל פוליטרופי של הגז הופכת את הניסוח המתמטי של הבעיה לממצה, דבר שמוביל למשוואת ליין-אמדן. זהו פתרון "מסדר אפס" עבור כדורים גזיים בעלי כבידה עצמית, כגון כוכבים. במקרים מסוימים זהו קירוב שימושי, אך בדרך כלל בעל הנחות מגבילות למדי.

את המשוואה ניתן לפתור אנליטית רק כאשר האינדקס הפוליטרופי n שווה ל-0, 1 או 5. במקרים אחרים (כגון במקרים הפיזיקליים) יש לפתור את המשוואה נומרית.

n =	0	1	5
${\displaystyle \theta }$ =	${\displaystyle 1-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\sin \zeta }{\zeta }}}$	${\displaystyle \left(1+{\frac {\zeta ^{2}}{3}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$
ζ1 =	${\displaystyle {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle \pi }$	∞

כאשר ${\displaystyle \zeta _{1}}$ מייצג את רדיוס הכוכב חסר הממדים המנורמל ב-a. עבור n=1 הפתרון הוא פונקציית sinc שכן המשוואה הופכת למשוואת בסל כדורית.

קישורים חיצוניים

• משוואת ליין-אמדן, באתר MathWorld (באנגלית)

• Horedt, G. P. (1986). "Seven-digit tables of Lane-Emden functions" (PDF). Astrophysics and Space Science. 126 (2): 357–408. doi:10.1007/bf00639386. ISSN 0004-640X. Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.