מספר שופע

מספר שופע הוא מספר שסכום מחלקיו (לא כולל המספר עצמו) עולה על המספר. למשל המספר 12 הוא מספר שופע, משום שהוא מתחלק ל-1,2,3,4,6. סכומם של המחלקים גדול מ-12: 1+2+3+4+6=16

ההגדרה בשפה מתמטית: מספר שופע (abundant number) הוא מספר טבעי ${\displaystyle n}$ שעבורו מתקיים ${\displaystyle \sigma (n)>2n}$, כאשר ${\displaystyle \sigma (n)}$ היא פונקציית המחלקים: סכום כל המחלקים החיוביים של ${\displaystyle n}$, כולל ${\displaystyle n}$ עצמו.

חלוקת המספרים ל"שופעים", "חסרים" ומשוכללים מופיעה לראשונה אצל ניקומאכוס, בסביבות שנת 100.

קיימים אינסוף מספרים שופעים. ביתר פירוט, לכל k, קיימים אינסוף מספרים שופעים המתחלקים ב- k, ואינסוף מספרים שופעים הזרים ל- k. הסיבה העקרונית לכך היא שהמכפלה ${\displaystyle \prod \left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$, על-פני כל הראשוניים, היא אינסופית, ואילו היחס ${\displaystyle \sigma (n)/n}$ שווה לפחות ל- ${\displaystyle \prod \left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$ כאשר המכפלה היא על פני המחלקים הראשוניים של n. על ידי בחירת מספיק גורמים ראשוניים, אפשר לעבור כל יחס רצוי.

בשנת 1998 הראה מארק דלגליש שהצפיפות של המספרים השופעים היא בין 0.2474, ל-0.2480.

מספר שופע שאיננו "דמוי משוכלל" נקרא "מספר מוזר". בעיה פתוחה עתיקת יומין היא, האם קיים מספר (שופע) ${\displaystyle n}$ המקיים ${\displaystyle \sigma (n)=2n+1}$. (מספר כזה נקרא מספר קוואזי משוכלל).

המספר השופע האי-זוגי הקטן ביותר הוא 945.

ראו גם

• מספר חסר

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מספר שופע בוויקישיתוף

• מספר שופע, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת המספרים השופעים באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

• M. Deléglise, "Bounds for the density of abundant integers," Experimental Math., 7:2 (1998) p. 137-143