מונה אי נשיג

בתורת הקבוצות, מונה אי-נשיג או מונה בלתי-נגיש הוא סוג של מונה גדול.

הגדרה

מונה לא בן-מנייה ${\displaystyle \kappa }$ נקרא אי-נשיג חלש אם הוא מונה גבולי וסדיר (רגולרי).

מונה נקרא אי-נשיג חזק אם הוא גבולי חזק (כלומר לכל ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ מתקיים ${\displaystyle 2^{\lambda }<\kappa }$) וסדיר.

כיום, "אי נשיג" משמש כמילה נרדפת ל"אי נשיג חזק".

היסטוריה

ב-1908, כחלק מהעבודה שלו על תכונות של מספרים מונים, הגדיר האוסדורף את מושג האי-נשיג החלש. המוטיבציה להגדרה הייתה שמונה כזה יהיה נקודת גבול של התהליך של לקיחת מונים עוקבים וגבולות של מונים (הוא יקיים למשל ${\displaystyle \kappa =\aleph _{\kappa }}$). האוסדורף לא ידע להוכיח שקיים מונה אי נשיג, אך טען כי אם אחד כזה קיים הוא יהיה גדול מדי ולא יוכל לשמש לשום מטרה טבעית בתורת הקבוצות. בעקבות העבודה של גדל על L ידוע היום כי לא ניתן להוכיח במסגרת ZFC כי קיים מונה אי נשיג, ויתר על כן, משפטי האי-שלמות של גדל מראים כי אם ZFC קונסיסטנטית לא ניתן להוכיח במסגרתה כי התורה של "ZFC + קיים מונה אי נשיג" היא קונסיסטנטית (ראו בהמשך).

בשנת 1930, שרפינסקי, טרסקי וצרמלו הגדירו את מושג האי-נשיג החזק והראו את הקשר העמוק בינו לבין ההיררכיה של פון נוימן. מקשר זה נובע בקלות שלא ניתן להוכיח במסגרת ZFC כי קיים מונה אי נשיג חזק.

תכונות

כל אי-נשיג חזק הוא גם אי-נשיג חלש, וההפך מתקיים בהנחת השערת הרצף המוכללת (GCH). ללא הנחת GCH, ניתן להראות על ידי כפייה כי בהנחה שקיים אי נשיג מתיישב שאפילו ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ הוא אי-נשיג חלש.

מונה אי נשיג חלש, יישאר גבולי וסדיר כאשר נצמצם את ההתייחסות למחלקה L, ושם - כיוון ש-GCH מתקיים, הוא יהיה אי-נשיג חזק.

מודלים ועקביות

בתוך ZFC, ניתן לבנות היררכיה של כל הקבוצות. נגדיר באינדוקציה על הסודרים:

• ${\displaystyle V_{0}:=\emptyset }$
• ${\displaystyle V_{\alpha +1}:={\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$ - כלומר קבוצת החזקה של הקבוצה הקודמת בהיררכיה.
• אם ${\displaystyle \alpha }$ סודר גבולי אז: ${\displaystyle V_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }V_{\beta }}$ - כלומר איחוד כל השלבים עד לאותו מקום.

אקסיומת היסוד גוררת כי כל קבוצה מוכלת בשלב מסוים בתוך ${\displaystyle V_{\alpha }}$ (עבור סודר כלשהו).

ניתן להתייחס לקבוצות ${\displaystyle V_{\alpha }}$ כ"תחיליות" של העולם, ולשאול כמה מתוך תורת הקבוצות מתקיימת כבר בהן. קל לראות כי למשל כל תורת הקבוצות, למעט אקסיומת האינסוף, מתקיימת ב-${\displaystyle V_{\omega }}$. כמו כן, אם נוותר על הסכימה של אקסיומת ההחלפה ובמקומה נשתמש באקסיומת ההפרדה, החלשה יותר, נקבל שהקבוצה ${\displaystyle V_{\omega +\omega }}$ היא מודל לגרסה הזו לתורת הקבוצות.

מוטיבציה עיקרית להגדרה של המונה האי-נשיג (חזק) היא העובדה הבאה: אם ${\displaystyle \kappa }$ הוא מונה אי-נשיג, אז ${\displaystyle V_{\kappa }}$ הוא מודל של כל ZFC. עובדה זו הופכת את המונה האי-נשיג לסוג של מונה גדול. צרמלו ושפרדסון הוכיחו משפט חזק יותר - אם ננסח את תורת הקבוצות בלוגיקה מסדר שני, כאשר הסכימה של אקסיומת ההחלפה מוחלפת באקסיומת יחידה מסדר שני נקבל כי ${\displaystyle V_{\kappa }}$ הוא מודל של התורה הזו אם ורק אם ${\displaystyle \kappa }$ הוא מונה אי-נשיג. בתורה הסטנדרטית (מסדר ראשון) הכיוון ההפוך לא נכון - אם יש מונה אי נשיג אז יש מתחתיו סודר ${\displaystyle \alpha }$ בו ${\displaystyle V_{\alpha }}$ הוא מודל של ZFC.

מעובדה זו נובע כי לא ניתן להוכיח ב-ZFC שקיים מונה אי-נשיג - נניח בשלילה שהיה ניתן להוכיח זאת, אז היינו מקבלים כי עבור ${\displaystyle \kappa }$ המונה האי-נשיג הראשון, ${\displaystyle V_{\kappa }}$ הוא מודל לתורה ZFC + "לא קיים מונה אי נשיג".

העובדה העדינה יותר היא שלא ניתן להוכיח ב-ZFC כי קיום מונה אי נשיג הוא עקבי. בניגוד, למשל, להשערת הרצף או לאקסיומת הבחירה עבורן ניתן להוכיח במסגרת ZFC כי התקיימותן או שלילתן הן עקביות - כאן ניתן רק להוכיח כי "לא קיים מונה אי נשיג" עקבי עם ZFC ולא ניתן להוכיח כי "קיים מונה אי נשיג" עקבי. הסיבה לכך היא שאם היה ניתן להוכיח מתוך העקביות של ZFC כי התורה ZFC+I היא עקבית (כאשר I הוא הטענה כי קיים מונה אי נשיג), אז היינו מקבלים כי התורה ZFC+I מוכיחה את עקביותה (כי היא מוכיחה את העקביות של ZFC על ידי בניית מודל עבורה) - בסתירה למשפט אי השלמות השני של גדל.

עובדה זו מדגימה כי ההנחה (או אקסיומה) שקיים מונה אי נשיג מחזקת באופן מהותי את ZFC כיוון שהיא מאפשרת לנו להוכיח את העקביות של טענות שלא יכולנו להוכיח את עקביותן מתוך התורה הסטנדרטית.

ראו גם

• מונה גדול
• מונה מדיד

קישורים חיצוניים

• מונה אי נשיג, באתר MathWorld (באנגלית)