מבחן F

מבחן F הוא כל מבחן סטטיסטי אשר בו סטטיסטי המבחן הוא בעל התפלגות F תחת השערת האפס. השם של המבחן נקבע על ידי הסטטיסטיקאי ג'ורג' ואדל סנדקור (George W. Snedecor), כמחווה לרונלד פישר.

דוגמאות למבחן F

להלן מספר דוגמאות נפוצות שבהן משתמשים במבחני F.

• בחינת ההיפותזה שהתוחלות של אוכלוסיות המתפלגות נורמלית, בעלות אותה סטיית תקן הן שוות. זהו מבחן ה-F הנפוץ ביותר, והוא מהווה חלק חשוב במבחני אנובה.
• בחינת ההיפותזה שמודל רגרסיה מוצע מתאים באופן טוב לנתונים.

דוגמה להשוואה בין שונויות

יהיו ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$ ו-${\displaystyle Y_{1},...,Y_{m}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$ שני מדגמים, כך שהשונויות והתוחלות שלהם אינן ידועות. נניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו: $${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}}$$ $${\displaystyle H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}$$

כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל. נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית: $${\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}={\bar {X}},\quad {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {1}{n}}\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$$ $${\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}={\bar {Y}},\quad {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {1}{m}}\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}$$

פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת: $${\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{1}}}\right)^{n}e^{-{\frac {n}{2}}}\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{2}}}\right)^{m}e^{-{\frac {m}{2}}}}$$

תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{0}^{2}={\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}+\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{n+m}}}$. כעת, פונקציית הנראות תחת השערת האפס היא: $${\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{0}}}\right)^{n+m}e^{-{\frac {n+m}{2}}}}$$

משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא: $${\displaystyle \lambda (X,Y)={\frac {L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})}{L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})}}=\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{1}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{2}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}}$$ ואם נציב בביטוי את הנתונים ונפשט נקבל:

$${\displaystyle \lambda (X,Y)=\left(\left(1+{\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{n}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{m}}\right)^{-{\frac {m}{2}}}}$$

כעת, נביט בסטטיסטי ${\displaystyle T(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}}$. נשים לב שגם כאשר ביטוי זה שואף ל-0 וגם כאשר הוא שואף לאינסוף, ${\displaystyle \lambda (X,Y)}$ שואפת לאינסוף. לכן, מבחן יחס נראות מוכלל יהיה מהצורה:

נדחה את השערת האפס אם ${\displaystyle T(X,Y)>C_{1}}$ או ${\displaystyle T(X,Y)<C_{2}}$, כאשר רמת הביטחון מקיימת $${\displaystyle \alpha =P\left(\{T(X,Y)<C_{2}\}\cup \{T(X,Y)>C_{1}\}\right)}$$.

כעת, נשים לב לתכונות הבאות: ${\displaystyle {\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}={\frac {S_{Y}^{2}}{S_{X}^{2}}}\sim {\frac {\chi _{m-1}^{2}/(m-1)}{\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}=F_{m-1,n-1}}$

לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי ${\displaystyle T'(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}}$. כדי לקבל אותו, נחלק ב-${\displaystyle n-1,m-1}$ את המקומות הרלוונטיים בפונקציית יחס הנראות. עדיין יתקיים שכשהסטטיסטי החדש שואף לאינסוף או ל-0, כך גם פונקציית יחס הנראות. לכן נקבל את אותו מבחן יחס נראות מוכלל רק עם ערכי C שונים:

נדחה את השערת האפס אם ${\displaystyle T'(X,Y)>C_{1}^{*}}$ או ${\displaystyle T'(X,Y)<C_{2}^{*}}$ כאשר רמת הביטחון מקיימת ${\displaystyle \alpha =P(T'(X,Y)<C_{2}^{*}orT'(X,Y)>C_{1}^{*})}$.

ולמעשה נוכל למצוא את ערכי ה-C לפי התפלגות F : ${\displaystyle C_{1}^{*}=F_{m-1,n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}},C_{2}^{*}=F_{m-1,n-1;{\frac {\alpha }{2}}}}$

ראו גם

• מבחן t