מבחן דיריכלה

במתמטיקה, מבחן דיריכלה הוא שיטת בדיקה להתכנסות של טורים. הוא נקרא על שם יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה שתיארו לראשונה, ופורסם לאחר מותו, בשנת 1862 כחלק ממאמר פרי עטו.

המבחן

המבחן קובע כי אם ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ היא סדרה של מספרים ממשיים ו-${\displaystyle \{b_{n}\}}$ היא סדרה של מספרים מרוכבים, והן מקיימות:

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$
• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$ לכל מספר טבעי N

כאשר M הוא קבוע מסוים, אז הטור:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

מתכנס.

הוכחה

יהיו ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$ ו-${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$.

מביצוע סכימה בחלקים, נקבל: ${\displaystyle S_{n}=a_{n}B_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$.

כיוון ש-${\displaystyle B_{n}}$ חסום על ידי M ו- ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$, הראשון באיברים באגף ימין של הביטוי לעיל שווה לאפס, דהיינו ${\displaystyle a_{n}B_{n}\to 0}$ כש- ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

בנוסף, כיוון שהסדרה ${\displaystyle a_{n}}$ היא מונוטונית לא עולה, ${\displaystyle a_{k}-a_{k+1}}$ חיובי לכל k, לכן ${\displaystyle |B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M(a_{k}-a_{k+1})}$. כלומר, גודלו של הסכום החלקי של B_n כפול פקטור משתנה מסוים, קטן או שווה לחסם העליון של הסכום החלקי של B_n כפול אותו הגורם.

אולם ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})}$, ולכן הטור הוא טור טלסקופי ששווה ${\displaystyle M(a_{1}-a_{n+1})}$, ולפיכך מתכנס ל- ${\displaystyle Ma_{1}}$ כש- ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. לכן, ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$ מתכנס.

מכך נובע איפוא, ש- ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|}$ מתכנס גם כן כתוצאה ישירה של מבחן ההשוואה.

מ.ש.ל

יישומים

מקרה פרטי מיוחד מסוים של מבחן דיריכלה הוא מבחן לייבניץ המפורסם יותר, במקרה בו:

${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1}$.

תוצאה נוספת הנובעת ממבחן דיריכלה היא ש-${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ מתכנס כאשר ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ היא סדרה יורדת השואפת לאפס (ההנחה שטור הסינוסים חסום הוא תוצאה ישירה של קיום חסם על הסכימה ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}e^{in}}$ כש-i היחידה המדומה).

קישורים חיצוניים

• מבחן דיריכלה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)