כמעט כל (מתמטיקה)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משתמשים לעיתים בביטוי כמעט כל במשמעות מדויקת, שפירושה "הכל, פרט אולי לקבוצה זניחה". השאלה אילו קבוצות זניחות נקבעת לפי ההקשר. בכל המקרים, איחוד של שתי קבוצות זניחות הוא זניח, וכך נשמרת המוסכמה, שאם "כמעט בכל מקום מתקיים התנאי P" ו"כמעט בכל מקום מתקיים התנאי Q", אז "כמעט בכל מקום מתקיימים התנאים P ו-Q גם יחד".

כעין זה משתמשים גם בביטויים כמעט תמיד או כמעט בוודאות, ראו להלן.

הכול פרט למספר סופי

כאשר עוסקים בסדרות, או בקבוצות בנות מנייה באופן כללי, פירושו המקובל של המונח "כמעט כל" הוא "פרט למספר סופי של יוצאי דופן". לדוגמה, אומרים על סדרה שהיא מתכנסת לגבול ${\displaystyle x}$ אם ורק אם לכל סביבה של ${\displaystyle x}$, כמעט כל אברי הסדרה נמצאים באותה סביבה - כלומר, יש רק מספר סופי של איברים מחוץ לסביבה.

"המשפט הטיפשי של האריתמטיקה"^[1][2] קובע, בדרך הלצה, שכמעט כל מספר טבעי הוא "גדול מאוד". אף על פי ש"גדול מאוד" אינה תכונה מתמטית מדויקת, אפשר לצפות שיהיו לה שתי תכונות:

• יש לפחות מספר אחד שהוא גדול מאוד.
• אם מספר מסוים הוא גדול מאוד, אז גם כל מספר גדול ממנו הוא גדול מאוד.

כעת אפשר להוכיח את המשפט בקלות: יהי n מספר גדול מאוד (קיומו של מספר כזה מובטח מן התכונה הראשונה). כל המספרים הגדולים מ-n הם גדולים מאוד (על-פי התכונה השנייה), ולכן יש לכל היותר n-1 מספרים שאינם גדולים מאוד, ומספרם סופי.

הכול פרט לקבוצה בת צפיפות אפס

כאשר עולה הצורך בניתוח מדוקדק יותר של קבוצות אינסופיות, למשל, בתורת המספרים, המונח "כמעט כל" עשוי לקבל משמעות של צפיפות. "כמעט כל מספר מקיים תכונה P", אם הצפיפות של קבוצת המספרים שאינם מקיימים את התכונה היא אפס. נניח ש- ${\displaystyle \ p(n)}$ הוא מספרם של הטבעיים ${\displaystyle \ 1,2,...,n}$ המקיימים תכונה מסוימת. אומרים שכמעט כל המספרים מקיימים את התכונה, אם מתקיים הגבול ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {p(n)}{n}}=1}$. אם P הוא שם התכונה, אפשר לסמן את העובדה שכמעט כל המספרים מקיימים את P על ידי ${\displaystyle (\forall ^{\infty }n)P(n)}$.

לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים קובע כי המספר של ראשוניים הקטנים ממספר נתון ${\displaystyle \ n}$ שווה בקירוב ל- ${\displaystyle \ n/\ln(n)}$. לכן החלק היחסי של מספרים ראשוניים הולך ופוחת לאפס כאשר ${\displaystyle \ n}$ גדל. נובע מזה שכמעט כל המספרים הטבעיים הם מספרים פריקים, אף על פי שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים.

הכול פרט לקבוצה ממידה אפס

בתורת המידה אומרים שתכונה מתקיימת כמעט בכל מקום (almost everywhere או .a.e או בעברית: כ.ב.מ.) אם לקבוצת הנקודות שבהן היא אינה מתקיימת יש מידה אפס. כך למשל, פונקציה היא "רציפה כמעט בכל מקום" אם קבוצת נקודות אי-הרציפות היא בעלת מידה אפס.

באותו אופן, בתורת ההסתברות אומרים שמאורע יתרחש כמעט בוודאות (almost surely, או בקיצור a.s.), או בהסתברות ${\displaystyle 1}$ אם ההסתברות לכך שלא יתרחש היא אפס. בניסוח שקול, אומרים כי קבוצות הנקודות במרחב המדגם שאינן במאורע היא ממידה אפס (ביחס לפונקציית ההסתברות, שהיא מידה). לדוגמה, ההסתברות לכך שנקודה הנבחרת מהתפלגות אחידה על ריבוע תיפול על האלכסון שלו היא אפס, ולכן "כמעט כל הנקודות בריבוע אינן על האלכסון" או "נקודה אקראית בריבוע אינה על האלכסון בהסתברות ${\displaystyle 1}$".

המידה של איחוד בן מנייה של קבוצות ממידה אפס גם היא אפס. תחת הפירוש של תורת המידה, אם לכל ${\displaystyle n}$, התנאי ${\displaystyle P_{n}}$ מתקיים כמעט בכל מקום, אז כמעט בכל מקום מתקיימים כל התנאים ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots }$ יחדיו.

הכול פרט לקבוצה דלילה

בטופולוגיה של מרחבים מטריים או מרחבי בייר ("מרחב מהקטגוריה השנייה"), כאשר לא מוגדרת פונקציית מידה, ממלאות הקבוצות הדלילות את מקומן של הקבוצות ממידה אפס. במקרה זה, התכונה P "מתקיימת כמעט בכל מקום" אם היא מתקיימת מחוץ לקבוצה דלילה.

ראו גם

• גדול מספיק

קישורים חיצוניים

• כמעט כל, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. באתר MathWorld של Wolfram
2. באתר MathDaily