יחסיות הסימולטניות

בפיזיקה, יחסיות הסימולטניות היא מונח בתורת היחסות הפרטית המתייחס לכך שהסימולטניות (בו-זמניות) של שני מאורעות המופרדים מרחבית זה מזה אינה מוחלטת, אלא שהיא תלויה במערכת הייחוס של הצופה שמודד את זמני ההתרחשות של המאורעות.

תיאור

לפי תורת היחסות הפרטית של איינשטיין, זה בלתי אפשרי לקבוע באופן מוחלט ששני מאורעות מרוחקים מתרחשים באותו הזמן אם המאורעות מופרדים מרחבית זה מזה. אם ברישומי השעון המקומי של מערכת ייחוס אחת מוקצה אותו רגע בזמן להתרחשותם של שני מאורעות המתרחשים בנקודות שונות במרחב, אז בשעון של מערכת ייחוס אחרת הנעה ביחס למערכת הראשונה יימדדו זמנים שונים להתרחשות שני המאורעות (המקרה היוצא דופן היחידי הוא כאשר התנועה היא בדיוק בניצב לקו הישר המחבר את מיקומי המאורעות).

לדוגמה, תאונת מכוניות בלונדון ותאונה אחרת בניו יורק אשר נדמות כמתרחשות באותו הזמן לצופה על כדור הארץ, יידמו כמתרחשות בזמנים שונים במקצת עבור צופה המצוי במטוס הטס מלונדון לניו יורק. יותר מכך, אם שני המאורעות לא קשורים לזה בקשר סיבתי אז, בתלות בכיוון התנועה, התאונה בלונדון תתרחש ראשונה במערכת ייחוס אחת, בעוד שהתאונה בניו יורק עשויה להתרחש ראשונה במערכת ייחוס אחרת. אף על פי כן, אם התאונות קשורות זו לזו בקשר סיבתי, אז סדר המאורעות יישמר בכל מערכות הייחוס.

ניסויי מחשבה

הרכבת של איינשטיין

הסיטואציה כפי שנצפית על ידי הצופה בקרון.

הסיטואציה כפי שנצפית במערכת הייחוס של הצופה בתחנה (התקצרות האורך אינה מוראית בצמד האיורים).

בגרסת איינשטיין המוקדמת של ניסוי מחשבה זה, צופה אחד יושב באמצע קרון רכבת נעה, בעוד שצופה אחר עומד בתחנת הרכבת (הנייחת) כאשר הרכבת חולפת על פני התחנה. כפי שנמדד על ידי הצופה העומד, שתי מכות ברק פוגעות בשני צידי קרון הרכבת בו-זמנית (בחזית ובאחורי הקרון סימולטנית). במערכת הייחוס האינרציאלית של הצופה העומד, ישנם שני מאורעות מופרדים מרחבית, אך סימולטניים: ברק מכה בחזית הקרון, וברק מכה באחורי הקרון.

מכיוון שהמאורעות ממוקמים בנקודות שונות לאורך כיוון התנועה של הרכבת, קואורדינטות הזמן שלהם מוטלות לקואורדינטות זמן שונות במערכת הייחוס של הרכבת הנעה. מאורעות המתרחשים מקדימה לקרון רכבת (כלומר, שקרון הרכבת עתיד להגיע אל המיקום שלהם) יקרו מוקדם יותר מאשר מאורעות המתרחשים במיקום המנוגד לכיוון תנועת הרכבת. במערכת הייחוס האינרציאלית של הרכבת, פירוש הדבר שהברק יכה בחזית הקרון לפני הברק שיכה באחורי הקרון.

דרך אחת להבין את הרעיון הזה מבוססת על ניסוי מחשבה דומה לזה, אשר תואר על ידי איינשטיין בספרו הפופולרי על תורת היחסות מ-1917. היא מתייחסת לצופה אחד באמצע קרון רכבת נעה וצופה אחר העומד בתחנת הרכבת כאשר הרכבת חולפת על פניו. ברגע מסוים, הבזק אור נפלט באמצע הקרון בדיוק כאשר שני הצופים חולפים אחד על פני השני.

בעבור הצופה על הקרון, החזית ואחורי הקרון מצויים במרחק זהה ממקור האור ולכן, מנקודת המבט של הצופה הזה, האור יגיע לחזית הקרון ולאחוריו באותו הזמן (ראו איור עליון). בעבור הצופה שעומד בתחנה, החלק האחורי נע כלפי הנקודה שבה הבזק האור נפלט, בעוד שחזית הקרון מתרחקת ממנה. לפי הנחת היסוד של היחסות הפרטית, מהירות האור קבועה בכל מערכות הייחוס ובכל הכיוונים, ולכן האור הנע לכיוון אחורי הקרון יצטרך לעבור מרחק קצר יותר בהשוואה לאור שנע לכיוון חזית הקרון. לפיכך, הבזקי האור יפגעו בקצוות הקרון בזמנים שונים (ראו איור תחתון).

תיאור כמותי

ניסוי הרכבת של איינשטיין מוביל ישירות לפיתוח ביטוי כמותי עבור הפרש הזמנים ${\displaystyle \Delta t}$ שנמדד בין שני מאורעות במערכת ייחוס מסוימת, כאשר ידוע שבמערכת ייחוס שנעה ביחס אליה במהירות ${\displaystyle v}$ שני המאורעות מתרחשים בו-זמנית ומופרדים מרחבית על ידי מרחק ${\displaystyle L}$ (מופרדים מרחבית בכיוון התנועה היחסית).

נתייחס לקרון הרכבת ולהבזק האור שנפלט מן האמצע שלו. אם האורך העצמי של קרון הרכבת (אורך הקרון כפי שנמדד על ידי הצופה היושב בו) הוא ${\displaystyle L}$, אז האורך של הקרון כפי שיימדד על הצופה בתחנה הוא: ${\displaystyle L'=L{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ (התקצרות האורך). מכיוון שהחלק האחורי של הקרון והבזק האור נעים זה לקראת זה, הצופה שעומד בתחנה ימדוד זמן ${\displaystyle t_{1}={\frac {L'/2}{c+v}}}$ לרגע פגיעת האור בחלק האחורי (כאשר ${\displaystyle t=0}$ הוא הרגע בו נפלט הבזק האור). בדומה לכך, הצופה בתחנה ימדוד זמן ${\displaystyle t_{2}={\frac {L'/2}{c-v}}}$ לרגע פגיעת האור בחזית הקרון. לפיכך, הפרש הזמנים בין שני המאורעות שימדוד הצופה הנייח הוא:

${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}={\frac {L'}{2}}({\frac {1}{c-v}}-{\frac {1}{c+v}})={\frac {L'v}{c^{2}(1-(v/c)^{2})}}={\frac {v}{c^{2}}}{\frac {L{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}{1-(v/c)^{2}}}={\frac {\gamma v}{c^{2}}}L}$

כאשר ${\displaystyle \gamma }$ הוא פקטור לורנץ. נשים לב גם שבפיתוח הביטוי להתקצרות האורך (שאינו מובא כאן) לא נעשה כל שימוש ביחסיות הסימולטניות, ולכן זהו אינו טיעון מעגלי.

דיאגרמות מרחב-זמן

דיאגרמת המרחב-זמן במערכת הייחוס של צופה על הרכבת.

דיאגרמת המרחב-זמן במערכת הייחוס של צופה הרואה את הרכבת נעה ימינה.

זה עשוי להיות מועיל לדמיין את הסיטואציה באמצעות דיאגרמות מרחב-זמן. בעבור צופה נתון, ציר הזמן מוגדר להיות הקו הישר שמתווה נקודת הראשית של הקואורדינטה המרחבית x כאשר הזמן חולף, והוא מצויר אנכית. ציר ה-x מוגדר להיות אוסף כל הנקודות במרחב בזמן t = 0, והוא מצויר אופקית. הטענה שמהירות האור קבועה בכל מערכות הייחוס באה לידי ביטוי בכך שבכל מערכת ייחוס, קרן אור מיוצגת כקו בזווית 45° ביחס לציר המקום (וציר הזמן), ללא קשר למהירות המקור ביחס למהירות הצופה.

בדיאגרמה הראשונה, שני הקצוות של קרון הרכבת מצוירים כקווים אפורים. מכיוון שקצוות הקרון הם נייחים ביחס לצופה עליו, הקווים הללו הם קווים אנכיים, מה שמראה שתנועתם היא בזמן בלבד ולא דרך המרחב. הבזק האור מוראה באיור כשני הקווים האדומים בזווית 45°. הנקודות שבהן הבזק האור פוגע בקצוות הקרון, המיוצגות על ידי נקודות החיתוך בין הקווים האפורים לבין הקווים האדומים, הם באותו הגובה בדיאגרמה. זה אומר שהמאורעות הללו סימולטניים.

בדיאגרמה השנייה, שני קצוות הקרון נעים ימינה, כפי שמוראה על ידי שני הקווים המקבילים האפורים. מוצא הבזק האור מצוי בנקודה שבדיוק באמצע הדרך בין קצוות הקרון, ושוב יוצר שני קווים בזווית 45°, במה שמבטא את קביעות מהירות האור. בדיאגרמה הזאת, הנקודות שבהן פוגע הבזק האור פוגע בקצוות הקרון הן לא באותו גובה; זה אומר שהמאורעות הם לא סימולטניים.

טרנספורמציות לורנץ

תופעת יחסיות הסימולטניות ניתנת לזיהוי עם איבר מסוים בטרנספורמציות לורנץ, אשר קושרות את הקואורדינטות המרחב-זמניות של צופה אחד לקואורדינטות של צופה אחר המצוי בתנועה יחסית אחידה ביחס לצופה הראשון.

נניח שהצופה הראשון עושה שימוש בקואורדינטות t, x, y, ו- z, בעוד שהצופה השני עושה שימוש בקואורדינטות t′, x′, y′, z′. כעת נניח שהצופה הראשון רואה את הצופה השני נע בכיוון ציר ה-x במהירות v. ונניח גם שהצירים של שני הצופים מקבילים ושיש להם אותה הראשית בזמן t = t'=0. אז טרנספורמציות לורנץ מבטאות איך הקואורדינטות הללו קשורות זו בזו:

${\displaystyle t'={\frac {t-{v\,x/c^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

${\displaystyle x'={\frac {x-v\,t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

כאשר c היא מהירות האור. אם שני מאורעות קורים באותו הזמן במערכת הייחוס של הצופה הראשון, יהיו להם ערכים זהים של קואורדינטת t. עם זאת, אם יהיו להם ערכים שונים של קואורדינטת x (מיקומים שונים על ציר ה-x), אז יהיו להם ערכים שונים של קואורדינטת 't, כלומר הם יקרו בזמנים שונים במערכת ייחוס זאת. האיבר שאחראי על שבירת מוחלטות הסימולטניות הוא ${\displaystyle -\gamma vx/c^{2}}$.

השלכות פילוסופיות

מושג הסימולטניות מאפשר "לבצוע" את המרחב-זמן ל"פרוסות של סימולטניות", באופן כזה שכל המאורעות (במובן הכללי ביותר של המושג מאורע) המתרחשים בו-זמנית מגדירים את מצב היקום ברגע מסוים. במרחב-זמן הניוטוני המוחלט, ישנה רק דרך אחת לעשות זאת, כך שמרחב-הזמן הניוטוני מורכב מערימה של אוסף יחיד של פרוסות סימולטניות. במרחב-הזמן היחסותי, יחסיות הסימולטניות אומרת לנו שישנן דרכים רבות לעשות זאת, בתלות במערכת הייחוס של הצופה; אין דרך ייחודית, מועדפת לערום את פרוסות הסימולטניות. במובן הזה, המרחב והזמן מעורבבים יחדיו והערבוב הזה הוא החידוש העמוק של תורת היחסות הפרטית.

היטיב לבטא זאת הרמן מינקובסקי במבוא שלו להרצאתו המפורסמת "מרחב וזמן" מ-1908:

ההשקפות על המרחב והזמן שאני עומד לתאר בפניכם נבעו מן הקרקע האמפירית של הפיזיקה הניסיונית ומכאן חוזקן. הן רדיקליות. מהן נובע שמרחב בפני עצמו וזמן בפני עצמו, נידונים להתפוגג לכדי אשליות בלבד, ורק סוג של איחוד של השניים יוכל להשתמר כמציאות עצמאית.

ראו גם

• תורת היחסות הפרטית