בלאזוויך החל את קריירת הבוגרים שלו בבורוסיה מנשנגלדבך. בלאזוויך השתייך לקבוצת המילואים ששיחקה בליגת האזורית המערבית, שהיא הרביעית בהייררכיית הליגות בגרמניה, במשך 7 עונות רצופות. בלאזוויך היה שחקן הרכב קבוע, ובעונת 2014/15 אף רשם העפלה עם הקבוצה אל הליגה הגרמנית השלישית. במקביל, היה בלאזוויך לעיתים נקרא לסגל הקבוצה הבכירה של בורוסיה מנשנגלדבך ששיחקה בבונדסליגה כשוער מחליף, אך לא ערך בשורותיה ולו הופעה אחת. בעונת 2015/16 הושאל בלאזוויך לדינמו דרזדן מהליגה הגרמנית השלישית, ובעונה זו סיים עמה במקום הראשון, והעפיל לבונדסליגה השנייה. בעונת 2017/18 הושאל בלאזוויך פעם נוספת, והפעם להנזה רוסטוק מהליגה הגרמנית השלישית. בלאזוויך והנזה רוסטוק סיימו עונה זו במקום השישי.
בקיץ 2018 חתם בלאזוויך בהראקלס אלמלו מליגת העל ההולנדית. בלאזוויך וקבוצתו סיימו במרכז הטבלה בשלוש העונות הראשונות שלו במועדון, אך בעונת 2021/22 נשרו אל ליגת המשנה ההולנדית, לאחר שסיימו במקום ה-16 בליגה והפסידו במשחקי המבחן לאקסלסיור.
בקיץ 2022 עבר בלאזוויך לר.ב. לייפציג מהבונדסליגה, בה חתם על חוזה לשלוש שנים. השוער הראשון של הקבוצה, פטר גולאצ'י הרבה להיפצע באותה תקופה, ובלאזוויך תפס את מקומו פעמים רבות. בעונת 2022/23 בלאזוויך סיים עם לייפציג במקום השלישי בבונדסליגה, וזכה עמה בגביע הגרמני לאחר ניצחון 2-0 בגמר על איינטרכט פרנקפורט, במשחק בו שיחק 90 דקות. בקיץ 2023 זכה בלאזוויך בתואר נוסף, לאחר ניצחון 0–3 על באיירן מינכן במשחק הסופר קאפ הגרמני. במקביל, האריך את חוזהו במועדון עד לסוף עונת 2025/26. בעונת 2023/24 בלאזוויך ערך 21 הופעות ליגה, וסיים עם לייפציג במקום הרביעי בבונדסליגה.
.jpg)
