חבורה פולי-ציקלית

במתמטיקה, חבורה פולי-ציקלית היא חבורה שיש לה סדרה תת-נורמלית עם מנות ציקליות. אלו הן בדיוק החבורות הפתירות המקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות.

ההגדרה מציעה פרמטר של אורך לחבורות פולי-ציקליות. חבורות פולי-ציקליות מאורך 1 הן ציקליות. חבורה פולי-ציקלית מאורך 2 היא מטא-ציקליות (כלומר הרחבה של חבורה ציקלית בחבורה ציקלית). ראו גם "אינדקס הירש", להלן.

כל חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית (ובפרט כל חבורה אבלית נוצרת סופית) היא פולי-ציקלית. כל חבורה פתירה סופית היא פולי-ציקלית. לכל חבורה פולי-ציקלית יש ייצוג סופי.

אנטולי מלצב הוכיח שכל תת-חבורה פתירה של ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ היא פולי-ציקלית; Auslander ו-Swan הוכיחו שגם ההפך נכון: כל חבורה פולי-ציקלית (ואפילו ההולומורף של חבורה פולי-ציקלית) אפשר לשכן בחבורת המטריצות מעל השלמים.

חבורה פולי-ציקלית למעשה

חבורה שיש לה תת-חבורה פולי-ציקלית מאינדקס סופי נקראת פולי-ציקלית למעשה (virtually polycyclic). לחבורה כזו יש תת-חבורה פולי-ציקלית נורמלית, ולכן היא מהווה הרחבה של חבורה סופית בחבורה פולי-ציקלית. חבורות כאלה מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות, והן מוצגות סופית.

אינדקס הירש של חבורה פולי-ציקלית הוא מספר הגורמים האינסופיים בסדרה הנורמלית שגורמיה ציקליים. לכל התת-חבורות הפולי-ציקליות מאינדקס סופי של חבורה ${\displaystyle G}$ יש אותו אינדקס הירש.

למרות שחבורה פולי-ציקלית למעשה אינה בהכרח פתירה, הירש הוכיח שלחבורות כאלה יש סדרה נורמלית סופית שכל המרכיבים שלה סופיים או ציקליים.

חבורות פולי-ציקליות למעשה הן residually finite. יתרה מזו, הירש הוכיח (1946) שאם כל המנות הסופיות של חבורה כזו הן נילפוטנטיות, אז היא נילפוטנטית בעצמה. ההשלמה הפרו-סופית של חבורה פולי-ציקלית למעשה, קובעת את החבורה עד כדי מספר סופי של מחלקות איזומורפיזם (Grunewald–Pickel–Segal, 1980).

לחבורות פולי-ציקליות למעשה יש חשיבות מיוחדת בתורת המבנה של אלגברות חבורה. אלו הן הדוגמאות היחידות שאלגברת החבורה שלהן הוא חוג נותרי או בעל ממד אינג'קטיבי סופי.

קישורים חיצוניים

• חבורה פולי-ציקלית, באתר MathWorld (באנגלית)