התפלגות t
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים
ν ν -->
>
0
{\displaystyle \ \nu >0\ }
דרגות חופש .
תומך
x
∈ ∈ -->
(
− − -->
∞ ∞ -->
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle \ x\in (-\infty ,\infty )}
פונקציית צפיפות הסתברות
Γ Γ -->
(
ν ν -->
+
1
2
)
π π -->
ν ν -->
Γ Γ -->
(
ν ν -->
2
)
(
1
+
x
2
ν ν -->
)
− − -->
ν ν -->
+
1
2
{\displaystyle \textstyle \ {\frac {\Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\ \left(\ 1+{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-{\frac {\ \nu +1\ }{2}}}\ }
פונקציית ההסתברות המצטברת
1
2
+
x
Γ Γ -->
(
ν ν -->
+
1
2
)
× × -->
2
F
1
(
1
2
,
ν ν -->
+
1
2
;
3
2
;
− − -->
x
2
ν ν -->
)
π π -->
ν ν -->
Γ Γ -->
(
ν ν -->
2
)
,
{\displaystyle {\begin{matrix}\ {\frac {\ 1\ }{2}}+x\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\ {{}_{2}F_{1}}\!\left(\ {\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu +1\ }{2}};\ {\frac {3}{\ 2\ }};\ -{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ }{\ {\sqrt {\pi \nu }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ ,\end{matrix}}}
תוחלת
0
{\displaystyle \ 0\ }
ν ν -->
>
1
{\displaystyle \ \nu >1\ }
חציון
0
{\displaystyle \ 0\ }
ערך שכיח
0
{\displaystyle \ 0\ }
שונות
ν ν -->
ν ν -->
− − -->
2
{\displaystyle \textstyle \ {\frac {\nu }{\ \nu -2\ }}\ }
ν ν -->
>
2
{\displaystyle \ \nu >2}
∞ ∞ -->
{\displaystyle \infty }
1
<
ν ν -->
≤ ≤ -->
2
{\displaystyle \ 1<\nu \leq 2\ }
אנטרופיה
ν ν -->
+
1
2
[
ψ ψ -->
(
ν ν -->
+
1
2
)
− − -->
ψ ψ -->
(
ν ν -->
2
)
]
+
ln
-->
[
ν ν -->
B
(
ν ν -->
2
,
1
2
)
]
(nats)
{\displaystyle \ {\begin{matrix}{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\left[\ \psi \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ \right]\\[0.5em]+\ln \left[{\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\left(\ {\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\ \right)\right]\ {\scriptstyle {\text{(nats)}}}\ \end{matrix}}}
פונקציה אופיינית
(
ν ν -->
|
t
|
)
ν ν -->
/
2
K
ν ν -->
/
2
(
ν ν -->
|
t
|
)
Γ Γ -->
(
ν ν -->
/
2
)
2
ν ν -->
/
2
− − -->
1
{\displaystyle \textstyle {\frac {\ \left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)^{\nu /2}\ K_{\nu /2}\left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)\ }{\ \Gamma (\nu /2)\ 2^{\nu /2-1}\ }}}
ν ν -->
>
0
{\displaystyle \nu >0}
[ 1]
צידוד
0
{\displaystyle \ 0\ }
ν ν -->
>
3
{\displaystyle \ \nu >3\ }
גבנוניות
6
ν ν -->
− − -->
4
{\displaystyle \textstyle \ {\frac {6}{\ \nu -4\ }}}
ν ν -->
>
4
{\displaystyle \ \nu >4\,}
∞ ∞ -->
{\displaystyle \infty }
2
<
ν ν -->
≤ ≤ -->
4
{\displaystyle \ 2<\nu \leq 4\ }
בתורת ההסתברות , התפלגות t של סטודנט (Student's t -distribution ), או בפשטות התפלגות t , היא משפחה של התפלגויות רציפות שמהווה הכללה של ההתפלגות הנורמלית . כמו ההתפלגות הנורמלית, התפלגות t היא סימטרית סביב אפס, ובעלת צורה דמוית פעמון, אך יש לה זנב עבה . מסת ההסתברות בזנבות נשלט על ידי הפרמטר
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
ν ν -->
=
1
{\displaystyle \nu =1}
t ההיא התפלגות קושי , שהזנבות שלה "עבים". עבור
ν ν -->
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle \nu \rightarrow \infty }
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle \ {\mathcal {N}}(0,1)\,}
ההתפלגות מתארת את הערכים הצפויים למדגם מתוך אוכלוסייה המתפלגת נורמלית, כאשר השונות של האוכלוסייה אינה ידועה . התפלגות t היא הבסיס למבחן t , המשמש לבדיקת מובהקות ההפרש בין הממוצעים של שני מדגמים של אוכלוסייה וכן לניתוח רגרסיה ליניארית .
בסטטיסטיקה, התפלגות t נגזרה לראשונה כהסתברות פוסטריורית ב-1876 על ידי המתמטיקאים הגרמנים הלמרט(אנ' ) ולורות'(אנ' ) .[ 2] [ 3]
בספרות האנגלית, ההתפלגות קיבלה שמה מהמאמר של ויליאם גוסט (אנ' ) מ-1908 בכתב העת Biometrika (אנ' ) תחת השם הבדוי "סטודנט".[ 4] כימאי במבשלת הבירה של גינס בדבלין , אירלנד והתעניין בבעיות של דגימות קטנות. למשל, התכונות הכימיות של שעורה בדגימות שגודלן קטן. המאמר של גוסט מתייחס להתפלגות כ"התפלגות התדירות של סטיות תקן של דגימות שנלקחו מאוכלוסייה נורמלית". העבודה התפרסמה בזכות עבודתו של רונלד פישר , שכינה את ההתפלגות "התפלגות סטודנט" וייצג את ערך המבחן באות t .[ 5] [ 6]
אחת הגרסאות לשימוש בשם הבדוי בפרסום המאמר היא שהמעסיק של גוסט, העדיף שהצוות ישתמש בשמות עט בפרסום מאמרים מדעיים במקום בשמם האמיתי ולכן גוסט בשם הבדוי "סטודנט". גרסה אחרת היא שגינס לא רצו שהמתחרים שלהם ידעו שהם משתמשים במבחן t כדי לקבוע את איכות חומר הגלם.[ 7]
פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות t היא:
f
(
t
)
=
Γ Γ -->
(
ν ν -->
+
1
2
)
ν ν -->
π π -->
Γ Γ -->
(
ν ν -->
2
)
(
1
+
t
2
ν ν -->
)
− − -->
(
ν ν -->
+
1
2
)
{\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!}
כאשר
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
דרגות החופש ו-
Γ Γ -->
{\displaystyle \Gamma }
פונקציית גמא .
אלטרנטיבית ניתן לכתוב
f
(
t
)
=
1
ν ν -->
B
(
1
2
,
ν ν -->
2
)
(
1
+
t
2
ν ν -->
)
− − -->
(
ν ν -->
+
1
)
/
2
,
{\displaystyle f(t)\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\!\left({\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\;\left(\ 1+{\frac {\ t^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ ,}
כאשר
B
{\displaystyle \ {\mathrm {B} }\ }
פונקציית בטא . בפרט כאשר
ν ν -->
{\displaystyle \ \nu \ }
מספר שלם מתקבל:
כאשר
ν ν -->
>
1
{\displaystyle \ \nu >1\ }
Γ Γ -->
(
ν ν -->
+
1
2
)
π π -->
ν ν -->
Γ Γ -->
(
ν ν -->
2
)
=
1
2
ν ν -->
⋅ ⋅ -->
(
ν ν -->
− − -->
1
)
⋅ ⋅ -->
(
ν ν -->
− − -->
3
)
⋯ ⋯ -->
5
⋅ ⋅ -->
3
(
ν ν -->
− − -->
2
)
⋅ ⋅ -->
(
ν ν -->
− − -->
4
)
⋯ ⋯ -->
4
⋅ ⋅ -->
2
.
{\displaystyle \ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\;\Gamma \!\left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ =\ {\frac {1}{\ 2{\sqrt {\nu \ }}\ }}\ \cdot \ {\frac {\ (\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 5\cdot 3\ }{\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 4\cdot 2\ }}~.}
כאשר
ν ν -->
>
1
{\displaystyle \ \nu >1\ }
Γ Γ -->
(
ν ν -->
+
1
2
)
π π -->
ν ν -->
Γ Γ -->
(
ν ν -->
2
)
=
1
π π -->
ν ν -->
⋅ ⋅ -->
(
ν ν -->
− − -->
1
)
⋅ ⋅ -->
(
ν ν -->
− − -->
3
)
⋯ ⋯ -->
4
⋅ ⋅ -->
2
(
ν ν -->
− − -->
2
)
⋅ ⋅ -->
(
ν ν -->
− − -->
4
)
⋯ ⋯ -->
5
⋅ ⋅ -->
3
.
{\displaystyle \ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}\ =\ {\frac {1}{\ \pi {\sqrt {\nu \ }}\ }}\ \cdot \ {\frac {(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 4\cdot 2\ }{\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 5\cdot 3\ }}~.}
פונקציית צפיפות ההסתברות היא סימטרית, וצורתה הכללית דומה לצורת הפעמון של משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 0 ושונות 1, אלא שהיא מעט נמוכה ורחבה יותר. ככל שגדל מספר דרגות החופש, התפלגות t מתקרבת להתפלגות נורמלית עם ממוצע 0 ושונות 1. מסיבה זו
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
האיורים הבאים מציגים את פונקציית הצפיפות של התפלגות t עבור ערכי
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
t (קו אדום) מתקרבת להתפלגות הנורמלית כאשר
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
ניתן לכתוב את פונקציית הצפיפות המצטברת בעזרת
I
{\displaystyle I}
פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית. עבור
t
>
0
{\displaystyle t>0}
F
(
t
)
=
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
t
f
(
u
)
d
-->
u
=
1
− − -->
1
2
I
x
(
t
)
(
ν ν -->
2
,
1
2
)
,
{\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}\ f(u)\ \operatorname {d} u~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\!\left({\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\right)\ ,}
כאשר
x
(
t
)
=
ν ν -->
t
2
+
ν ν -->
.
{\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{\ t^{2}+\nu \ }}~.}
ביטוי אחר שתקף למקרה
t
2
<
ν ν -->
,
{\displaystyle \ t^{2}<\nu \ ,}
∫ ∫ -->
− − -->
∞ ∞ -->
t
f
(
u
)
d
-->
u
=
1
2
+
t
Γ Γ -->
(
ν ν -->
+
1
2
)
π π -->
ν ν -->
Γ Γ -->
(
ν ν -->
2
)
2
F
1
(
1
2
,
ν ν -->
+
1
2
;
3
2
;
− − -->
t
2
ν ν -->
)
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\ \operatorname {d} u~=~{\frac {1}{2}}+t\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)\ }}\ {}_{2}F_{1}\!\left(\ {\frac {1}{2}},{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\ ;{\frac {3}{\ 2\ }}\ ;\ -{\frac {~t^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ ,}
כאשר
2
F
1
(
,
;
;
)
{\displaystyle \ {}_{2}F_{1}(\ ,\ ;\ ;\ )\ }
מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית .
עבור
ν ν -->
>
1
{\displaystyle \nu >1}
E
-->
{
T
k
}
=
{
0
k
odd
,
0
<
k
<
ν ν -->
1
π π -->
Γ Γ -->
(
ν ν -->
2
)
[
Γ Γ -->
(
k
+
1
2
)
Γ Γ -->
(
ν ν -->
− − -->
k
2
)
ν ν -->
k
2
]
k
even
,
0
<
k
<
ν ν -->
.
{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ T^{k}\ \right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \,\\{}\\{\frac {1}{\ {\sqrt {\pi \ }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}\ \left[\ \Gamma \!\left({\frac {\ k+1\ }{2}}\right)\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu -k\ }{2}}\right)\ \nu ^{\frac {\ k\ }{2}}\ \right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu ~.\\\end{cases}}}
מומנטים מסדר
ν ν -->
{\displaystyle \ \nu \ }
[ 8]
עבור k זוגי ניתן לפשט את האיבר ל
0
<
k
<
ν ν -->
{\displaystyle \ 0<k<\nu \,}
פונקציית גמא
E
-->
{
T
k
}
=
ν ν -->
k
2
∏ ∏ -->
j
=
1
k
/
2
2
j
− − -->
1
ν ν -->
− − -->
2
j
k
even
,
0
<
k
<
ν ν -->
{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ T^{k}\ \right\}=\nu ^{\frac {\ k\ }{2}}\ \prod _{j=1}^{k/2}\ {\frac {~2j-1~}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~}
תוחלת, שונות, צידוד, גבנוניות
עבור התפלגות t עם
ν ν -->
{\displaystyle \ \nu \ }
התוחלת היא
0
{\displaystyle \ 0\ }
ν ν -->
>
1
{\displaystyle \ \nu >1\ }
השונות היא
ν ν -->
ν ν -->
− − -->
2
{\displaystyle \ {\frac {\nu }{\ \nu -2\ }}\ }
הצידוד הוא 0 עבור
ν ν -->
>
3
{\displaystyle \ \nu >3\ }
הגבנוניות היא
6
ν ν -->
− − -->
4
{\displaystyle \ {\frac {6}{\ \nu -4\ }}\ }
ν ν -->
>
4
{\displaystyle \ \nu >4}
∞ ∞ -->
{\displaystyle \infty }
4
≥ ≥ -->
ν ν -->
>
2
{\displaystyle 4\geq \nu >2}
t
ניתן להגדיר את התפלגות t עם
ν ν -->
{\displaystyle \ \nu \ }
T
T
=
Z
V
/
ν ν -->
=
Z
ν ν -->
V
,
{\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu }{V}}},}
כאשר Z הוא משתנה מקרי מתפלג נורמלית עם תוחלת אפס ושונות 1, V משתנה מקרית עם התפלגות כי בריבוע עם
ν ν -->
{\displaystyle \ \nu \ }
בלתי תלויים .
t התפלגות t עשויה להתקבל באמצעות דגימה של משתנה מקרי נורמלי. יהיו
x
1
,
… … -->
,
x
n
∼ ∼ -->
N
(
μ μ -->
,
σ σ -->
2
)
{\displaystyle \ x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
σ σ -->
2
{\displaystyle \ \sigma ^{2}}
אומד חסר הטיה לשונות נתונים על ידי
x
¯ ¯ -->
=
x
1
+
⋯ ⋯ -->
+
x
n
n
,
s
2
=
1
n
− − -->
1
∑ ∑ -->
i
=
1
n
(
x
i
− − -->
x
¯ ¯ -->
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}\ }{n}}\ ,\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{\ n-1\ }}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}~.\end{aligned}}}
הסטטיסטי
t
=
x
¯ ¯ -->
− − -->
μ μ -->
s
2
/
n
∼ ∼ -->
t
n
− − -->
1
{\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\ {\sqrt {s^{2}/n\ }}\ }}\sim t_{n-1}}
n
− − -->
1
{\displaystyle n-1\ }
^ Hurst, Simon. "The characteristic function of the Student t distribution" . Financial Mathematics Research Report. Statistics Research Report No. SRR044-95. אורכב מ-המקור ב-18 בפברואר 2010 . ^ Oscar Sheynin, Helmert's work in the theory of errors , Archive for History of Exact Sciences 49, 1995-03-01, עמ' 73–104 doi : 10.1007/BF00374700
^ J. Lüroth, Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers , 1876-01-01 doi : 10.1002/asna.18760871402
^ Student, The Probable Error of a Mean , Biometrika 6, 1908, עמ' 1–25 doi : 10.2307/2331554
^ Fisher RA, "Applications of 'Student's' distribution , Metron. 5, 1925, עמ' 41
^ Walpole RE, Myers R, Myers S, Ye K, Probability & Statistics for Engineers & Scientists , New Delhi, Pearson, עמ' 237, ISBN 9788177584042.
^ Michael C. Wendl, Pseudonymous fame , Science doi : 10.1126/science.351.6280.1406
^ Casella G, Berger RL (1990). Statistical Inference . Duxbury Resource Center. p. 56. ISBN 9780534119584
![{\displaystyle {\begin{matrix}\ {\frac {\ 1\ }{2}}+x\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\ {{}_{2}F_{1}}\!\left(\ {\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu +1\ }{2}};\ {\frac {3}{\ 2\ }};\ -{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ }{\ {\sqrt {\pi \nu }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ ,\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b4a3af11d075b054f564e60b7aea14bf2a95f3)
![{\displaystyle \ {\begin{matrix}{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\left[\ \psi \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ \right]\\[0.5em]+\ln \left[{\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\left(\ {\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\ \right)\right]\ {\scriptstyle {\text{(nats)}}}\ \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f248820e946d0f06d1d132fb0d1473d3bed1736c)
![{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ T^{k}\ \right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \,\\{}\\{\frac {1}{\ {\sqrt {\pi \ }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}\ \left[\ \Gamma \!\left({\frac {\ k+1\ }{2}}\right)\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu -k\ }{2}}\right)\ \nu ^{\frac {\ k\ }{2}}\ \right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu ~.\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c0acf262cda6a0a56bdabf3653cedc1a57e015)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}\ }{n}}\ ,\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{\ n-1\ }}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d888648788b273c89dbb57cb5a936e7824fa31d2)
