התפלגות תת-גאוסית

בתורת ההסתברות, התפלגות תת-גאוסית היא כל התפלגות שדועכת מהר לפחות כמו התפלגות גאוס. פורמלית, ${\displaystyle X}$ הוא משתנה מקרי שמתפלג תת-גאוסית אם קיימים קבועים ${\displaystyle C}$ ו-${\displaystyle v}$ כך ש:

${\displaystyle \operatorname {P} (|X|>t)\leq Ce^{-vt^{2}}.}$

תכונות שקולות

התכונות הבאות שקולות:

• משתנה X מתפלג תת-גאוסית
• תנאי-${\displaystyle \psi _{2}}$: ‏ ${\displaystyle \exists a>0:\operatorname {E} [e^{aX^{2}}]<+\infty }$
• תנאי התמרת לפלס: ${\displaystyle \exists B,b>0,\forall \lambda \in \mathbb {R} :\operatorname {E} [e^{\lambda (X-\operatorname {E} [X])}]\leq Be^{\lambda ^{2}b}.}$
• תנאי מומנט: ${\displaystyle \exists K>0:\forall p\geq 1\ \left(\operatorname {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\leq K{\sqrt {p}}.}$
• תנאי union bound (חסם על התפלגות מקסימום ההפרש ממשתנה זהה): ${\displaystyle \exists c>0,\forall n\geq c:\operatorname {E} [\max\{|X_{1}-\operatorname {E} [X]|,\ldots ,|X_{n}-\operatorname {E} [X]|\}]\leq c{\sqrt {\log n}}}$ כאשר ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ הם משתנים בעלי התפלגות זהה ל-X.

נורמה

עבור משתנה מקרי תת-גאוסי ${\displaystyle X}$ מגדירים נורמה תת-גאוסית ${\displaystyle \Vert X\Vert _{\psi _{2}}=\inf \left\{c>0:\operatorname {E} \left[\exp {\left({\frac {X^{2}}{c^{2}}}\right)}\right]\leq 2\right\}.}$

לקריאה נוספת

• Kahane, J.P. (1960). "Propriétés locales des fonctions à séries de Fourier aléatoires". Stud. Math. Vol. 19. pp. 1–25. [1] (אורכב 12.10.2016 בארכיון Wayback Machine).
• Buldygin, V.V.; Kozachenko, Yu.V. (1980). "Sub-Gaussian random variables". Ukrainian Math. J. Vol. 32. pp. 483–489. [2].
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probability in Banach Spaces. Springer-Verlag.
• Stromberg, K.R. (1994). Probability for Analysts. Chapman & Hall/CRC.
• Litvak, A.E.; Pajor, A.; Rudelson, M.; Tomczak-Jaegermann, N. (2005). "Smallest singular value of random matrices and geometry of random polytopes" (PDF). Adv. Math. Vol. 195. pp. 491–523.
• Rivasplata, O. (2012). "Subgaussian random variables: An expository note" (PDF). Unpublished.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.