המודל הפלנטרי

המודל הפלנטרי הוא מודל שהציג ארנסט רתרפורד בשנת 1911 לתיאור האטום לאחר ניסוי רתרפורד שהפריך את מודל עוגת הצימוקים. במודל זה הוצג לראשונה הרעיון של גרעין האטום.

המודל הפלנטרי מדמה את האטום למערכת השמש שלנו, על-פי המודל ההליוצנטרי המקובל כיום. רוב חללו של האטום הוא ריק. במרכז האטום נמצא גרעין האטום, בו כלואים הפרוטונים והנייטרונים, ובו נמצאת רוב המסה של האטום. סביב גרעין מסיבי זה מסתובבים האלקטרונים במסלולים דומים למסלולי כוכבי הלכת במערכת השמש. שלא כמו במערכת פלנטרית הכח העיקרי המחזיק את האלקטרונים אינו כח הכבידה אלא הכח החשמלי (בין החלקיקים באטום יש כוחות של כבידה, אלא שהשפעתם זניחה בסדרי גודל רבים ביחס להשפעת הכוחות האחרים).

מבנה זה מסביר באופן מלא את תוצאות ניסוי הפיזור של רתרפורד, אך במודל זה קיימת בעיה עיקרית והיא שהמודל לא מאפשר יציבות של האטום, וזאת מכיוון שכאשר מטען חשמלי מאיץ הוא פולט קרינה אלקטרומגנטית, ומאבד אנרגיה. כיוון שגם בתנועה סיבובית במהירות קבועה יש תאוצה (תאוצה רדיאלית), האלקטרונים כל הזמן יאבדו אנרגיה ויתנגשו בגרעין תוך פרק זמן קצר מאוד.

עם פיתוח תורת הקוונטים הוצגו לצורך מניעת ה"קטסטרופה" הזו רמות אנרגיה המתירות לאלקטרונים אך ורק רמות אנרגיות בדידות, וגויס עקרון האיסור של פאולי לצורך מניעת האלקטרונים מליפול כולם לרמה התחתונה.

ניתוח המודל

כדי לנתח את המודל, המבוסס על פיזיקה קלאסית, משתמשים במכניקה ניוטונית ובאלקטרומגנטיות:

• לגוף הנע בתאוצה רדיאלית ידוע כי מתקיים ${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$.
• הכוח החשמלי אשר צריך להחזיק את האלקטרון בתנועתו סביב הגרעין: ${\displaystyle F={\frac {ke^{2}}{r^{2}}}}$.

נציב שתי משוואות אלו לתוך החוק השני של ניוטון (${\displaystyle \ F=ma}$) ונקבל את הקשר: ${\displaystyle {\frac {ke^{2}}{r^{2}}}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}}$ או ${\displaystyle {\frac {ke^{2}}{r}}={m_{e}v^{2}}}$.

מהצבה לתוך ביטוי האנרגיה הכוללת של האלקטרון: ${\displaystyle E=E_{k}+E_{p}={\frac {m_{e}v^{2}}{2}}-{\frac {ke^{2}}{r}}=-{\frac {ke^{2}}{2r}}}$

קשר זה מכיל גדלים שניתן היה להעריך בתקופה בה הוצע המודל, כאשר ידוע כי עבור אטום המימן אנרגיית הינון היא בקרוב ${\displaystyle \ E=13.6eV}$, וכי רדיוס האטום הוא בקרוב ${\displaystyle \ R=0.529A}$. הקשר שהתקבל מתאים לגדלים מדודים אלו, ומראה על הצלחה מסוימת של המודל.

למול הצלחה זו מגיע כישלון, המתבטא בהערכת זמן הקריסה של האלקטרון לתוך הגרעין. קריסה זו נובעת מפליטת האנרגיה של גוף טעון במטען אלקטרומגנטי המאיץ. קצב פליטת האנרגיה של גוף בתאוצה הוא: ${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}={\frac {2ke^{2}a^{2}}{3c^{3}}}}$

מהצבת ביטוי האנרגיה שהתקבל למשוואה זו, ובשינוי סדר של האיברים מקבלים: ${\displaystyle {\frac {ke^{2}}{2r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}={\frac {2ke^{2}}{3c^{3}}}\left({\frac {ke^{2}}{m_{e}r^{2}}}\right)^{2}}$ זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה ב-r ו-t אשר פתרונה מניב את הקשר: ${\displaystyle t={\frac {m_{e}^{2}c^{3}k^{2}e^{4}}{32|E|}}}$.

מהצבת אנרגיית הינון של אטום המימן ${\displaystyle \ E=13.6eV}$ ושאר הגדלים הידועים (מהירות האור, מסת האלקטרון וכו') מתקבל כי זמן הקריסה המוערך הוא: ${\displaystyle t<2\times 10^{-11}sec}$. ידוע לנו כי אטום המימן הוא אטום יציב וכאן מתקיימת סתירה.

סימונים בהם נעשה שימוש

• ${\displaystyle \ k}$ קבוע קולון.
• ${\displaystyle \ e}$ מטען האלקטרון.
• ${\displaystyle \ m_{e}}$ מסת האלקטרון.
• ${\displaystyle \ c}$ מהירות האור.
• ${\displaystyle \ E_{k}}$ אנרגיה קינטית.
• ${\displaystyle \ E_{p}}$ אנרגיה פוטנציאלית.

המודל בתרבות הפופולרית

סמל הסוכנות הבינלאומית לאנרגיה אטומית

למרות היותו לא מדויק, שכן תורת הקוונטים מספקת מודל מדויק יותר למבנה האטום, המודל נתפס בדעת הקהל כאופן שבו אכן בנוי האטום, ואף נלמד בבתי ספר תיכונים. כמו כן הוא משמש כסמל במספר מקומות:

• סמל הסוכנות הבינלאומית לאנרגיה אטומית.
• סמל הוועדה לאנרגיה אטומית של ארצות הברית.
• משמש כסימן לאתר בו מתבצע שימוש באנרגיה גרעינית.

• סמל האטום מופיע גם על גב השטר של 50,000 ריאל איראני, על רקע מפת איראן, כסמל לתוכנית הגרעין האיראנית^[1].

• סמלה של חברת "תדיראן" כקונצרן היה מודל האטום עם האות T במרכז.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא המודל הפלנטרי בוויקישיתוף

• המודל הפלנטרי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

1. Funke, Christian (2016). "Aesthetics and Politics of Redesigning Iranian Banknotes: Arab Wind, the Persian Gulf and the Absence of Nuclear Energy". International Bank Note Society Journal. 55 (2): 40–45.