אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים

אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים מתבססת על הרעיון שאם נפעיל פונקציה על התחום, ההשפעה שלה על נפח כל תיבה בחלוקה קרובה להשפעת הקירוב הליניארי לפונקציה. קירוב זה הוא הנגזרת של הפונקציה, ולכן נכפול את האינטגרל המתקבל לאחר הפעלת הפונקציה בערך המוחלט של היעקוביאן, שמייצג את השינוי בנפח תיבה לאחר הטרנספורמציה.

הנוסחה

תהיינה ${\displaystyle {S}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ קבוצה פתוחה, ו-${\displaystyle {g}:{S}\to \mathbb {R} ^{n}}$ פונקציה חח"ע ודיפרנציאבילית ברציפות על S כך שהיעקוביאן ${\displaystyle {J_{g}}({t})}$ הפיכה לכל ${\displaystyle {t}\in {S}}$, אזי לכל קבוצה קומפקטית בעלת נפח ${\displaystyle {A}\subseteq {g}(S)}$ ופונקציה רציפה ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ מתקיים: ${\displaystyle \int _{A}f(x)\ dx=\int _{g^{-1}(A)}f(g(t))|J(t)|\ dt}$

במקרה החד־ממדי

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(t))\cdot g'(t)dt}$

ראו גם

• יעקוביאן

קישורים חיצוניים

• אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים, באתר MathWorld (באנגלית)