איבר אלגברי

במתמטיקה, אלגבריות היא תכונה המתייחסת לאיברים בשדה ${\displaystyle K}$ מעל תת-שדה ${\displaystyle F}$, ובאופן כללי יותר לכל איבר של אלגברה (אסוציאטיבית או לכל הפחות בעלת חזקה אסוציאטיבית) ${\displaystyle A}$ המוגדרת מעל חוג קומוטטיבי ${\displaystyle C}$. איבר המקיים תכונה זו נקרא איבר אלגברי, ואיבר שאינו מקיים אותה הוא טרנסצנדנטי. אלגברה (מעל שדה) שכל איבריה אלגבריים נקראת אלגברה אלגברית.

ההגדרה מכלילה את ההגדרה המקובלת למספר אלגברי, באופן שמספרים אלגבריים הם האיברים האלגבריים של שדה המספרים המרוכבים מעל שדה המספרים הרציונליים. מושג דומה, ועדין יותר, הוא זה של איבר שלם - כל איבר שלם הוא אלגברי, אבל לא להפך. אם ${\displaystyle C}$ הוא שדה, שני המושגים מתלכדים. המושגים מוגדרים כך: איבר ${\displaystyle a}$ של אלגברה ${\displaystyle A}$ מעל חוג קומוטטיבי ${\displaystyle C}$ הוא אלגברי (מעל ${\displaystyle C}$) אם הוא מאפס פולינום שכל מקדמיו שייכים ל-${\displaystyle C}$. איבר המאפס פולינום מתוקן הוא איבר שלם.

באלגברה מממד סופי, כמו למשל אלגברת מטריצות מעל שדה, כל איבר הוא אלגברי. אלגבריות בהרחבת שדות קשורה קשר הדוק לממד. אם ${\displaystyle K/F}$ היא הרחבה כזו, אז ${\displaystyle \ a\in K}$ הוא אלגברי אם ורק אם השדה ${\displaystyle \ F[a]}$ הנוצר על ידי ${\displaystyle a}$ מעל ${\displaystyle F}$ הוא בעל ממד סופי. באלגברה כללית ${\displaystyle A}$, איבר ${\displaystyle a}$ הוא שלם אם ורק אם ${\displaystyle \ C[a]}$ נוצר סופית כמודול מעל ${\displaystyle C}$. מזה נובעת תכונה חשובה: אם a מאפס פולינום שכל מקדמיו שלמים, אז הוא שלם בעצמו. מכאן נובע שאוסף כל האיברים של ${\displaystyle A}$ שהם שלמים מעל ${\displaystyle C}$ הוא תת-אלגברה (הנקראת הסגור השלם של ${\displaystyle C}$ בתוך ${\displaystyle A}$). אם כל איבר של ${\displaystyle A}$ שלם מעל ${\displaystyle C}$, אז ${\displaystyle A}$ הוא הרחבה שלמה של ${\displaystyle C}$.

את מושג הטרנסצנדנטיות אפשר להכליל כדי לטפל בכמה איברים. ${\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ הם איברים בלתי תלויים אלגברית אם לא קיים אף פולינום שונה מאפס ב-${\displaystyle n}$ משתנים ${\displaystyle \ f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ מעל חוג הבסיס C, כך ש- ${\displaystyle \ f(a_{1},\dots ,a_{n})=0}$. המספר הגדול ביותר של איברים בלתי תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של ${\displaystyle A}$ מעל ${\displaystyle C}$.

קישורים חיצוניים

• איבר אלגברי, באתר MathWorld (באנגלית)