לייבוביץ נולד ב-1917 בקרקוב למשפחה שומרת מסורת. על אף החינוך המסורתי נמשך לייבוביץ לספורט והיה פעיל בקבוצת כדורגל ובמועדון ספורט בעיר. מכיוון שאביו נפטר בגיל צעיר נאלץ לעזוב את לימודיו ולעזור במאפיה המשפחתית. בימי נעוריו הצטרף לתנועת הנוער דרור פרייהייט וב-1933 יצא להכשרה חלוצית בעיר כשנוב. ב-1936 היה ממובילי ארגון ההגנה העצמית היהודית כנגד עליית האנטישמיות. ב-1938 הגיע לוורשה על מנת להשתתף בסמינר תנועה דרור.
ב-1939 גויס לייבוביץ לצבא הפולני והגיע ללבוב. לאחר התפרקות הצבא הפולני נשאר בלבוב וסייע לחברי התנועה לעבור את הגבול מזרחה לכוון רומניה. בהמשך חזר לוורשה לעזור למשפחתו ובמקביל המשיך לסייע לחברי התנועה בבריחתם מזרחה (פעילות שנפסקה עם פלישת הגרמנים לרוסיה). במקביל הצטרף לארגון היהודי הלוחם. ב-20 ביוני1942 הגיע לוורשה להתייעצות, נפל בידי המשטרה הפולנית ונאסר בכלא בגאנשובקה משם שוחרר ב-22 ביוני1942 לאחר מאמצים רבים של חבריו. נשלח על ידי אי"ל לקרקוב, לעזור בארגון המרד בעיר. היה בין מנהיגי מחתרת "החלוץ הלוחם" שהורכבה מאנשים מכל תנועות הנוער בעיר בהובלת תנועת הנוער עקיבא. המחתרת מנתה כ-100 חברים כשבראשה עמדו 4 אנשים:
מלאכי (מאניק) אייזנשטיין מתנועת " הסתדרות הנוער החלוצי"
ב-1942 ביצעה המחתרת מספר פעולות קטנות נגד הגרמנים שלא מנעו את המשך שילוח יהודי העיר להשמדה ולכן הוחלט שנדרשות פעולות יותר משמעותיות. באוקטובר 1942 התאחדה מחתרת "החלוץ הלוחם" עם המחתרת השנייה שפעלה בעיר (מחתרת "איסקרא" של תנועת דרור) והוקמה מפקדה משותפת שכללה את:
שיאה של פעילות המחתרת המאוחדת היה ב-22 בדצמבר1942 אז הכתה המחתרת במספר מקומות רב בעיר כשהפעולה הידועה ביותר הייתה ההתקפה על "קפה ציגנריה" שם נפגעו מספר רב של גרמנים. הגרמנים פעלו באופן מיידי (כנראה בעקבות הלשנה) ולכדו מספר גדול מהמשתתפים בפעולה שהסתתרו ב"בונקר" שברחוב סקבינסקה.
ב-23 בדצמבר1942 הגיעו לייבוביץ ואנטק צוקרמן לאותו ה"בונקר" ונפלו למארב הגסטאפו. צוקרמן נפצע אך הצליח להתחמק והגיע פצוע בחזרה לוורשה בעוד שלייבוביץ, שנכנס ראשון, נלכד ונשלח לכלא מונטלופיך. לייבוביץ ישב בכלא עד 28 באפריל1943 ואז נשלח למחנה פלאשוב. בהיותו בדרך ניסה לברוח ונורה למוות. בכיסו נמצא פתק עליו כתוב: "אברהם לייבוביץ, אני יהודי!".
כשנתפס לייבוביץ נמצאו בניירותיו כתובתו ברחוב ז'ולאבסקי 5, שהייתה גם כתובת המפקדה. ב-24 בדצמבר1942 הגיעו לשם אנשי הגסטאפו הרגו, לאחר קרב, שניים ממנהיגי המחתרת (אהרון ליבסקינד ואידק טננבוים)
על פעילותו המלחמתית נגד הנאצים העניקה לו ממשלת פולין, לאחר המלחמה, את העיטור הצבאי הגבוה "ויריטוטי מיליטרי".
