Tetraedro

Tetraedro regular 3D

Un tetraedro^[1] (do grego τέτταρες 'catro' e ἕδρα 'asento, base de apoio') é un poliedro de catro caras. Con este número de caras ten que ser un poliedro convexo, e as súas caras triangulares, atopándose tres delas en cada vértice. Se as catro caras do tetraedro son triángulos equiláteros, iguais entre si, o tetraedro denomínase regular. O tetraedro é o símplex tridimensional.

Doutra maneira, un tetraedro é unha pirámide de base triangular.^[2]

Propiedades xeométricas

Tetraedro non regular.

En todo tetraedro, sexa ou no regular, verifícase que:

• Os segmentos que unen os puntos medios dos tres pares de arestas opostas son concorrentes nun punto, que os divide pola súa metade.
• Os segmentos que unen cada vértice cos puntos de intersección das medianas da súa cara oposta son tamén concorrentes nun punto, que os divide separando tres cuartas partes do lado do vértice respectivo (teorema de Commandino).
• Os seis planos perpendiculares ás arestas polos seus puntos medios pasan por un mesmo punto, centro da esfera circunscrita ao tetraedro.
• As rectas perpendiculares ás caras polo seu circuncentro son concorrentes nun punto, centro da esfera circunscrita ao tetraedro.
• Os planos bisectores dos diedros interiores dun tetraedro concorren nun punto equidistante das catro caras, centro da esfera inscrita ao tetraedro.

Propiedades métricas

Volume

Existe unha fórmula xeral para calcular o volume dun tetraedro OABC, onde O coincide coa orixe de coordenadas, sexa ou non regular, en función das coordenadas cartesianas (x, y, z) de tres dos seus vértices A, B C:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\,{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\end{vmatrix}}}$

Esta fórmula tamén se pode escribir en termos das coordenadas cartesianas dos catro vértices ${\displaystyle \{(x_{1},y_{1},z_{1}),\ (x_{2},y_{2},z_{2}),\ (x_{2},y_{2},z_{3})\ (x_{4},y_{4},z_{4})\}}$; o volume dun tetraedro (regular ou non) vén dado pola seguinte fórmula:

${\displaystyle V={\frac {1}{3!}}\,{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}}$

Outra fórmula, que pode obterse da anterior, permite calcular o volume dun tetraedro, regular ou irregular, coñecendo a lonxitude de dúas arestas opostas ${\displaystyle \ l_{1}}$ e ${\displaystyle \ l_{2}}$, a distancia ${\displaystyle \ h}$ e a ángulo ${\displaystyle \theta }$ entre elas:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\cdot l_{1}\cdot l_{2}\cdot h\cdot \sin \theta }$

• Outro caso: coñécense ${\displaystyle S,P}$ as áreas de dúas caras dun tetraedro, ${\displaystyle a}$ a lonxitude da aresta común, ${\displaystyle \alpha }$ o ángulo diedro entre elas. Entón o volume é

${\displaystyle V={\frac {2PS\sin \alpha }{3a}}}$^[3]

Área

A área dun tetraedro regular é:

${\displaystyle A_{\rm {tetraedro}}=4\,A_{c}}$

onde A_c é a área dunha das súas caras.

• En función da aresta ${\displaystyle a}$ do tetraedro regular:

${\displaystyle A_{T}=4\times {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}=a^{2}{\sqrt {3}}}$^[4]

Alturas do tetraedro

Un tetraedro (non necesariamente regular) defínese en ℝ³ coñecendo as coordenadas dos seus catro vértices, por exemplo ${\displaystyle V_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),V_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),V_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3}),V_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})}$. Calquera das súas catro caras defínese polo triángulo formado polos tres vértices da mesma; cada unha das caras define un plano (plano por tres puntos) base da altura que forma co vértice oposto, sendo ese vértice oposto o punto restante que non se empregou cando se definiu a cara. Pódese imaxinar un tetraedro pensando en que a súa base está definida polo triángulo formado por tres vértices calquera do mesmo aos que se chamará ${\displaystyle V_{2},V_{3}}$ e ${\displaystyle V_{4}}$ e que existe un vértice oposto a esa base ao que se chamará ${\displaystyle V_{1}}$ .

Para calcular a altura que forma un vértice oposto calquera coa súa cara base só hai que pór os valores dese vértice oposto en ${\displaystyle V_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ e despois pór os valores dos tres vértices da cara oposta ao mesmo en ${\displaystyle V_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),V_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$ e ${\displaystyle V_{4}=(x_{4},y_{4},z_{4})}$, logo aplicalos na fórmula seguinte:

${\displaystyle \textstyle {\text{Altura}}=\left|{\frac {{\text{x1}}({\text{y2}}({\text{z3}}-{\text{z4}})+{\text{y3}}({\text{z4}}-{\text{z2}})+{\text{y4}}({\text{z2}}-{\text{z3}}))+{\text{y1}}({\text{x2}}({\text{z4}}-{\text{z3}})+{\text{x3}}({\text{z2}}-{\text{z4}})+{\text{x4}}({\text{z3}}-{\text{z2}}))+{\text{z1}}({\text{x2}}({\text{y3}}-{\text{y4}})+{\text{x3}}({\text{y4}}-{\text{y2}})+{\text{x4}}({\text{y2}}-{\text{y3}}))-{\text{x2}}{\text{y3}}{\text{z4}}+{\text{x2}}{\text{y4}}{\text{z3}}+{\text{x3}}{\text{y2}}{\text{z4}}-{\text{x3}}{\text{y4}}{\text{z2}}-{\text{x4}}{\text{y2}}{\text{z3}}+{\text{x4}}{\text{y3}}{\text{z2}}}{\sqrt {(-{\text{x2}}{\text{y3}}+{\text{x2}}{\text{y4}}+{\text{x3}}{\text{y2}}-{\text{x3}}{\text{y4}}-{\text{x4}}{\text{y2}}+{\text{x4}}{\text{y3}})^{2}+(-{\text{x2}}{\text{z3}}+{\text{x2}}{\text{z4}}+{\text{x3}}{\text{z2}}-{\text{x3}}{\text{z4}}-{\text{x4}}{\text{z2}}+{\text{x4}}{\text{z3}})^{2}+(-{\text{y2}}{\text{z3}}+{\text{y2}}{\text{z4}}+{\text{y3}}{\text{z2}}-{\text{y3}}{\text{z4}}-{\text{y4}}{\text{z2}}+{\text{y4}}{\text{z3}})^{2}}}}\right|}$

Para coñecer as catro alturas do tetraedro basta con ir rotando as coordenadas dos seus vértices. Esta fórmula non require que o tetraedro sexa regular, senón que é válida para calquera tetraedro non dexenerado.

Tetraedro regular

Tetraedro

É un poliedro formado por catro caras que son triángulos equiláteros, e catro vértices en cada un dos cales concorren tres caras. é un dos cinco poliedros chamados sólidos platónicos. Ademais é un dos oito poliedros convexos denominados deltaedros. Aplicando a nomenclatura estándar dos sólidos de Johnson pode denominarse pirámide triangular.

Para a escola pitagórica o tetraedro representaba o elemento lume, posto que pensaban que as partículas (átomos) do lume tiñan esta forma.

Cálculo de dimensións fundamentais

Exclusivamente a partir da aresta a pódense calcular o resto das dimensións fundamentais dun tetraedro regular. Así, para as esferas singulares do tetraedro:

• Raio R da esfera circunscrita ao tetraedro (a que contén na súa superficie os catro vértices do mesmo):

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {6}}{4}}\cdot a\approx 0,6124\cdot a}$

• Raio r da esfera inscrita ao tetraedro (tanxente ás catro caras do tetraedro):

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{12}}\cdot a\approx 0,2041\cdot a}$

• Raio ρ da esfera tanxente ás seis arestas do tetraedro:

${\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {2}}{4}}\cdot a\approx 0,3536\cdot a}$

Nun tetraedro regular cada parella de arestas opostas (as que non concorren nun mesmo vértice) son ortogonais entre si, sendo a mínima distancia entre elas o segmento que une os seus puntos medios, de lonxitude dobre ao raio ρ da esfera tanxente ás arestas do tetraedro.

• A altura H do tetraedro (apoiado de maneira estable sobre un plano horizontal, distancia perpendicular dende o plano de apoio ao vértice oposto):

${\displaystyle H={\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot a\approx 0,8165\cdot a}$

Volume, área e desenvolvemento

Animación dun dos desenvolvementos do tetraedro.

Dado un tetraedro regular de aresta a, pódese calcular o seu volume V mediante a fórmula:

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}\cdot a^{3}\approx 0,1179\cdot a^{3}}$

E a área total das súas caras A (que é 4 veces a área dunha delas, A_c), mediante:

${\displaystyle A=4\cdot A_{c}=4\cdot {\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}={\sqrt {3}}\cdot a^{2}\approx 1,732\cdot a^{2}}$

Ángulos

Os ángulos planos que forman as arestas concorrentes son, como no resto dos sólidos platónicos, todos iguais e cun valor de 60º (π/3 rad), ao constituír os ángulos interiores dun triángulo equilátero.

Os ángulos diedros que forman as caras son, como no resto dos sólidos platónicos, todos iguais, e poden calcularse:

${\displaystyle \delta =2\cdot \arcsin {\frac {\sqrt {3}}{3}}\approx 1,23\ {\text{rad}}\ (70^{\circ }31'43,61'')}$

Os ángulos sólidos que forman os vértices son, como no resto dos sólidos platónicos, todos iguais, e poden calcularse:

${\displaystyle \omega ={\frac {A_{c}}{H^{2}}}={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}}{\left({\frac {\sqrt {6}}{3}}\cdot a\right)^{2}}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}sr\approx 0,650\ {\text{sr}}}$

Notas

1. Definicións no Dicionario da Real Academia Galega e no Portal das Palabras para tetraedro.
2. Tsipkin. Manual de matemática
3. I. Shariguin. Problems in Solid Geometry
4. Aplicando que a área total é 4 veces a da cara.