Os teoremas do isomorfismo foron formulados nalgunha xeneralidade para homomorfismos de módulos por Emmy Noether no seu artigo Abstrakter Aufbau der Idealtheorie en alxébrica Zahl - Und Funktionenkörpern, que foi publicado en 1927 en Mathematische Annalen. As versións menos xerais destes teoremas pódense atopar no traballo de Richard Dedekind e documentos anteriores de Noether.
Tecnicamente, non é necesario que sexa un subgrupo normal, sempre que sexa un subgrupo do normalizador de en . Neste caso, non é un subgrupo normal de mais é aínda un subgrupo normal do produto .
Se é un subgrupo de tal que , entón ten un subgrupo isomorfo a .
Cada subgrupo de é da forma para algún subgrupo de tal que .
Se é un subgrupo normal de tal que , entón ten un subgrupo normal isomorfo a .
Cada subgrupo normal de é da forma para algún subgrupo normal de tal que .
Se é un subgrupo normal de tal que , entón o grupo cociente é isomorfo a .
As catro primeiras afirmacións adoitan subsumirse baixo o Cuarto teorema do isomorfismo que mostramos a continuación.
Cuarto teorema do isomorfismo
Sexa un grupo, e un subgrupo normal de .
O homomorfismo da proxección canónica define unha correspondencia bixectiva
entre o conxunto de subgrupos de contendo e o conxunto dos (todos) subgrupos de . Baixo esta correspondencia, os subgrupos normais correspóndense con subgrupos normais.
Este teorema denomínanse tamén como o teorema da retícula, teorema de correspondencia.
Comentarios
O primeiro teorema do isomorfismo pode ser expresado en teoría das categoría coomo que a categoría de grupos é (epi normal, mono) factorizábel; noutras palabras, os epimorfismos normais e os monomorfismos forman un sistema de factorización para a categoría. Isto está capturado no diagrama conmutativo na marxe, que mostra os obxectos e morfismos cuxa existencia pode deducirse do morfismo . O diagrama mostra que cada morfismo na categoría de grupos ten un kernel no sentido da teoría das categorías; o morfismo arbitrario f factoriza en , onde é un monomorfismo e é un epimorfismo (na categoría conormal, todos os epimorfismos son normais). Isto está representado no diagrama por un obxecto e un monomorfismo (os kernels son sempre monomorfismos), que completan a secuencia exacta curta que vai desde a parte inferior esquerda ata a parte superior dereita do diagrama. O uso da convención da secuencia exacta sálvanos de ter que debuxar os morfismos cero de cara a e cara a .
No segundo teorema do isomorfismo, o produto SN é o join de S e N na rede de subgrupos de G, mentres que a intersección S ∩ N é o meet.
O terceiro teorema do isomorfismo é xeneralizado polo lema nove para categorías abelianas e máis en xeral mapas entre obxectos.
Imos mostra un exemplo para o teorema fundamental do isomorfismo.
Primeiro teorema do isomorfismo na álxebra universal
Sexa unha álxebra homomorfismo. Entón a imaxe de é unha subalxebra de , a relación dada por (é dicir, o kernel de ) é unha congruencia sobre , e as álxebras e son isomorfas. (Note que no caso dun grupo, se e só se, así cubrimos a noción de kernel usado na teoría de grupos neste caso.)
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Noether, Emmy, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen96 (1927) pp. 26–61
McLarty, Colin, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray e José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.