Teorema fundamental dos homomorfismos

En álxebra abstracta, o teorema fundamental dos homomorfismos, tamén coñecido como primeiro teorema do isomorfismo, relaciona a estrutura de dous obxectos entre os que se dá un homomorfismo, e do núcleo e a imaxe do homomorfismo.

Este teorema utilízase para demostrar os teoremas do isomorfismo .

Versión para grupos

Diagrama do teorema fundamental dos homomorfismos, onde f é un homomorfismo, N é un subgrupo normal de G, e temos que e define o elemento de identidade de G.

Dados dous grupos G e H e un homomorfismo de grupos f : G → H, sexa N un subgrupo normal en G e φ o homomorfismo sobrectivo natural G → G / N (onde G / N é o grupo cociente de G por N). Se N é un subconxunto de ker(f) entón existe un único homomorfismo h : G / N → H tal que f = h ∘ φ.

Noutras palabras, a proxección natural φ é universal entre os homomorfismos en G que mapean N no elemento identidade.

A situación descríbese no seguinte diagrama conmutativo:

h é inxectiva se e só se N = ker(f). Polo tanto, estabelecendo N = ker(f), obtemos inmediatamente o primeiro teorema do isomorfismo .

Podemos escribir o enunciado do teorema fundamental dos homomorfismos de grupos como "toda imaxe homomorfa dun grupo é isomorfa a un grupo cociente".

Proba

A demostración dedúcese a partir de dous feitos básicos sobre homomorfismos, a saber, a súa conservación da operación de grupo e a súa correspondencia entre os elementos identidade. Temos que demostrar que se ${\displaystyle \phi :G\to H}$ é un homomorfismo de grupos, entón:

1. ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ é un subgrupo ${\displaystyle H}$
2. ${\displaystyle G/\ker(\phi )}$ é isomorfo a ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$

Proba de 1

A operación que se conserva por ${\displaystyle \phi }$ é a operación do grupo. Se ${\displaystyle a,b\in {\text{im}}(\phi )}$, entón existen elementos ${\displaystyle a',b'\in G}$ tal que ${\displaystyle \phi (a')=a}$ e ${\displaystyle \phi (b')=b}$. Para estes ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ temos ${\displaystyle ab=\phi (a')\phi (b')=\phi (a'b')\in {\text{im}}(\phi )}$ (posto que ${\displaystyle \phi }$ preserva a operación do grupo), e así, a propiedade de peche está satisfeita en ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$. O elemento identidade ${\displaystyle e\in H}$ tamén está en ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ porque ${\displaystyle \phi }$ mapea o elemento de identidade de ${\displaystyle G}$ no identidade de ${\displaystyle H}$. Posto que cada elemento ${\displaystyle a'}$ en ${\displaystyle G}$ ten un inverso ${\displaystyle (a')^{-1}}$ tal que ${\displaystyle \phi ((a')^{-1})=(\phi (a'))^{-1}}$ (porque ${\displaystyle \phi }$ preserva a propiedade inversa tamén), temos un inverso para cada elemento ${\displaystyle \phi (a')=a}$ en ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$, polo tanto, ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ é un subgrupo de ${\displaystyle H}$.

Proba de 2

Construír un mapa ${\displaystyle \psi :G/\ker(\phi )\to {\text{im}}(\phi )}$ por ${\displaystyle \psi (a\ker(\phi ))=\phi (a)}$. Este mapa está ben definido, pois se ${\displaystyle a\ker(\phi )=b\ker(\phi )}$, entón ${\displaystyle b^{-1}a\in \ker(\phi )}$ e así ${\displaystyle \phi (b^{-1}a)=e\Rightarrow \phi (b^{-1})\phi (a)=e}$ que dá ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)}$. Este mapa é un isomorfismo. ${\displaystyle \psi }$ é sobrexectivo sobre ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ por definición. Para mostrar a inxectividade, se ${\displaystyle \psi (a\ker(\phi ))=\psi (b\ker(\phi ))}$, entón ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)}$, o que implica ${\displaystyle b^{-1}a\in \ker(\phi )}$ así que ${\displaystyle a\ker(\phi )=b\ker(\phi )}$. Finalmente,

$${\displaystyle \psi ((a\ker(\phi ))(b\ker(\phi )))=\psi (ab\ker(\phi ))=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=\psi (a\ker(\phi ))\psi (b\ker(\phi )),}$$

por tanto ${\displaystyle \psi }$ preserva a operación do grupo. Por tanto ${\displaystyle \psi }$ é un isomorfismo entre ${\displaystyle G/\ker(\phi )}$ e ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$, o que completa a proba.

Aplicacións

A versión de grupos do teorema fundamental dos homomorfismos pode ser usada para mostrar que dous grupos son isomorfos. A continuación móstranse dous exemplos.

Enteiros módulo n

Para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, considere os grupos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ e un homomorfismo de grupo ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{n}}$ definido por ${\displaystyle m\mapsto m{\text{ mod }}n}$ (ver aritmética modular). A continuación, considere o kernel de ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle {\text{ker}}(f)=n\mathbb {Z} }$, que é un subgrupo normal en ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Existe un homomorfismo sobrexectivo natural ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ definido por ${\displaystyle m\mapsto m+n\mathbb {Z} }$. O teorema afirma que existe un isomorfismo ${\displaystyle h}$ entre ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, ou noutras palabras ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. O diagrama conmutativo está ilustrado a continuación.

Teorema N/C

Sexa ${\displaystyle G}$ un grupo con subgrupo ${\displaystyle H}$. Sexan ${\displaystyle C_{G}(H)}$, ${\displaystyle N_{G}(H)}$ e ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$ o centralizador, o normalizador e o grupo de automorfismos de ${\displaystyle H}$ en ${\displaystyle G}$, respectivamente. Daquela, o teorema N/C afirma que ${\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ é isomorfo a un subgrupo de ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$.

A proba

Podemos atopar un homomorfismo de grupos ${\displaystyle f:N_{G}(H)\rightarrow {\text{Aut}}(H)}$ definido por ${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$, para todo ${\displaystyle h\in H}$. Claramente, o kernel de ${\displaystyle f}$ é ${\displaystyle C_{G}(H)}$. Por tanto, temos un homomorfismo sobrexectivo natural ${\displaystyle \varphi :N_{G}(H)\rightarrow N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ definido por ${\displaystyle g\mapsto gC(H)}$. O teorema fundamental dos homomorfismos afirma entón que existe un isomorfismo entre ${\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ e ${\displaystyle \varphi (N_{G}(H))}$, que é un subgrupo de ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$.

Outras versións

Teoremas similares son válidos para monoides, espazos vectoriais, módulos e, aneis.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

• Beachy, John A. (1999). "Theorem 1.2.7 (The fundamental homomorphism theorem)". Introductory Lectures on Rings and Modules. London Mathematical Society Student Texts 47. Cambridge University Press. p. 27. ISBN 9780521644075. 
• Grove, Larry C. (2012). "Theorem 1.11 (The Fundamental Homomorphism Theorem)". Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. p. 11. ISBN 9780486142135. 
• Jacobson, Nathan (2012). "Fundamental theorem on homomorphisms of Ω-algebras". Basic Algebra II. Dover Books on Mathematics (2nd ed.). Courier Corporation. p. 62. ISBN 9780486135212. 
• Rose, John S. (1994). "3.24 Fundamental theorem on homomorphisms". A course on Group Theory [reprint of the 1978 original]. Dover Publications, Inc., New York. pp. 44–45. ISBN 0-486-68194-7. MR 1298629. 

Outros artigos

• Categoría cociente.

Ligazóns externas

• Matthew Macauley The fundamental homomorphism theorem.