Teorema do resto

En álxebra, o teorema do resto ou pequeno teorema de Bézout[1] é un resultado que provén da división euclidiana de polinomios, que expón que o resto da división dun polinomio polo polinomio linear é igual a . Deste xeito, pódese enunciar un resultado aínda máis en particular, é un divisor de se e só se ,[2] unha propiedade coñecida coma o teorema do factor.

Proba

Malia que é un resultado moi sinxelo, existen diferentes formas de probar a súa veracidade, entre as cales se atopan as seguintes.

Proba 1

O teorema do resto é deducido desde o teorema da división euclidiana, o cal, dados dous polinomios f(x) (o dividendo) e g(x) (o divisor), afirma a existencia e a unicidade dun cociente q(x) e un resto R(x) tal que:

Escollendo o divisor como , o resto é ou o seu grao é cero, mais en ámbolos dous casos, é unha constante independente de ; isto é

Avaliando nesta fórmula, obtense:

Proba 2

Unha proba lixeiramente diferente, que pode semellar máis elemental, comeza coa observación de que é unha combinación linear dos termos da forma porque . Deste xeito, se tense que:

Tódolos termos da dereita teñen factor común , así que usando a propiedade distributiva:

E substituíndo , obtense

Proba 3

Esta proba baséase na idea de substituír a variábel no polinomio inicial

o binomio , observando que . Entón, tense que

onde o que se fixo foi aplicar a expansión do binomio de Newton, observando que tódolos termos da expansión malia un son divisíbeis por , que é o termo da forma . Ao xuntar todos estes termos, tense o resto ao dividir por , e ao os sumar, tense que o resto é .

Exemplos

Exemplo 1

Sexa o polinomio . División polinómica de por ten como resultado o cociente e o resto .

Por outro lado, , coincidindo co resto antes calculado.

Exemplo 2

Pódese observar que o teorema do resto é satisfeito para polinomios arbitrarios de segundo grado usando manipulacións alxébricas semellantes ás da terceira proba, pero no caso particular de , podendo ser así máis doada de entender.

Multiplicando ámbolos dous lados por (x − r) resulta en

Xa que é o resto, demostrouse que .

Aplicacións

Ademais da aplicación directa de calcular o resto da división entre o polinomio linear e un polinomio , o teorema do resto ten outras aplicacións.

Teorema do factor

Unha consecuencia directa do teorema do resto provén da seguinte observación: tense un polinomio e divídese polo polinomio linear e o resto é , entón . Ademais, se , entón a división de por ten o resto nulo. Este resultado é coñecido polo nome é o teorema do factor, que enuncia resumidamente que un polinomio ten como factor se e só se , é dicir é unha raíz.[3]

Dous problemas nos que se emprega a miúdo este teorema son os de factorizar un polinomio e atopar as raíces dunha ecuación polinomial, que como unha consecuencia directa do teorema tense que ámbolos dous problemas son esencialmente equivalentes. Ademais, o teorema do factor tamén se usa para eliminar raíces coñecidas dun polinomio, deixando o resto de raíces sen cambios e producindo así un polinomio de grao inferior cuxas raíces poden ser máis doadas de atopar, facilitando a factorización do polinomio. Os pasos a seguir neste método son os seguintes:[4]

  1. "Adiviñar" unha raíz do polinomio . En xeral, isto pode chegar a ser moi difícil, mais en certos casos pódense descubrir certas raíces. Por exemplo, se o polinomio só ten coeficientes enteiros, o resultado do teorema das raíces racionais sería de axuda.
  2. Usar o teorema do factor para concluír que é un factor de .
  3. Calcular o polinomio , por exemplo, usando a regra de Ruffini.
  4. Concluír que calquera raíz de é raíz de . Xa que o grao polinomial de é un menor que o de , suponse que é máis sinxelo atopar o resto de raíces de .
Exemplo de atopar de raíces

Atopar os factores de

Pódese actuar por proba e erro (ou co teorema das raíces racionais) para atopar o primeiro valor x que fai que a expresión sexa igual a cero. Para saber se é un factor, substitúese no polinomio anterior:

Isto é igual a 18 e non é e, polo tanto non é un factor. Así, téntase ver se é factor e para iso, substitúese no polinomio anterior:

Isto é . Por tanto , é dicir , é un factor, e é unha raíz de .

As seguintes dúas raíces pódense atopar dividindo alxebricamente por , para obter unha cadrática:

e, por tanto, e son factores de . Destes, o factor cadrático pode ser aínda factorizado resolvendo unha ecuación de segundo grado, que terá as raíces Así, os tres factores irredutíbeis do polinomio orixinal son e

Cálculo de valores dun polinomio

O teorema do resto adóitase empregar para avaliar calculando o resto . Malia que a división longa de polinomios é máis difícil que avaliar a función, a división sintética é computacionalmente máis doada. A aplicación da división sintética, neste caso usando a regra de Ruffini, e o teorema do resto para avaliar un polinomio é equivalente á aplicación do algoritmo de Horner.

É salientábel que o algoritmo de Horner só precisa n sumas e n produtos cando o grao do polinomio é n, sendo este o número mínimo de operacións de cada tipo que se precisa para avaliar un polinomio. Deste xeito, en canto ao número de operacións, o algoritmo de Horner, e polo tanto o algoritmo equivalente de usar a regra de Ruffini e o teorema do resto, é óptimo. As minimalidades de cada unha das operacións foi demostrada por separado: o número de sumas foi probado por Alexander Ostrowski en 1954[5], e o número de produtos por Victor Pan en 1966.[5]

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Read other articles:

Military coup led by Dési Bouterse 1980 Surinamese coup d'étatPart of the Cold WarMap of Suriname.Date25 February 1980LocationParamaribo, Suriname5°51′8″N 55°12′14″W / 5.85222°N 55.20389°W / 5.85222; -55.20389Result Coup attempt succeeds. Henck Arron is overthrown. Dési Bouterse assumed de facto control of the country.Belligerents Government of Suriname Supported by: Guyana Venezuela United States Surinamese Armed Forces National Military ...

 

Untuk proklamasi kemerdekaan Indonesia, lihat Proklamasi Kemerdekaan Indonesia. Tulisan Proklamasi yang ditulis oleh Ir. Soekarno. Teks proklamasi kemerdekaan Republik Indonesia. Peristiwa saat Ir. Soekarno yang didampingi Mohammad Hatta membacakan teks Proklamasi yang diabadikan oleh Frans Mendur. Proklamasi adalah pernyataan resmi yang dikeluarkan oleh orang yang berwenang untuk membuat pengumuman tertentu. Proklamasi saat ini digunakan dalam kerangka pemerintahan beberapa negara dan biasan...

 

Womanizer Single de Britney Spearsextrait de l'album Circus Sortie 26 septembre 2008(voir historique de sortie) Enregistré 2008 Durée 3:44 Genre Electropop, dance-pop Format CD single, téléchargement digital Auteur Nikesha Briscoe, Rafael Akinyemi Producteur K. Briscoe/The Outsyders Label Jive Singles de Britney Spears Break the Ice(2008) Circus(2008)modifier Womanizer est une chanson de la chanteuse de pop américaine Britney Spears, issue de son sixième album studio, Circus. ...

Simeão I de Constantinopla Nascimento século XV Morte 1486 Cidadania Império de Trebizonda, Império Otomano Ocupação sacerdote [edite no Wikidata] Simeão I de Constantinopla, conhecido também como Simeão I de Trebizonda (em grego: Συμεών Α΄ o Τραπεζούντιος; outono de 1486) foi patriarca ecumênico de Constantinopla por três vezes: durante um breve período em 1466[1], entre 1471 e 1475 e entre 1482 e 1486. Em 1484, Simeão presidiu o Sínodo de Constantinopl...

 

Metropolitan area in Sabah, MalaysiaGreater Kota KinabaluMetropolitan areaKota Kinabalu central business district in 2018.Country MalaysiaState SabahDivisionWest CoastArea • Total3,277 km2 (1,265 sq mi)Population (2019) • Total1,092,400 • Density333/km2 (860/sq mi) Greater Kota Kinabalu refers to the dense clusters of regional populated areas surrounding the city of Kota Kinabalu in Malaysia. It comprises the districts of ...

 

Vlaggen werden gebruikt om verschillende gebieden, kolonies en dominions in het Britse Rijk voor te stellen. Dit artikel bevat een lijst van historische vlaggen van het Britse Rijk en afhankelijke territoria. De verschillende vlaggen die werden gebruikt in de verschillende dominions, kroonkolonies, protectoraten en gebieden die samen het Britse Rijk en de overzeese gebieden vormden. Vroege vlaggen die werden gebruikt in het hele Britse Rijk (inclusief de toenmalige Dertien koloniën die later...

Catedral Metropolitana de la Ciudad de México La Iglesia católica es una organización religiosa la cual tiene como autoridad al papa, el cual reside y gobierna desde la Ciudad del Vaticano en Roma[1]​. Tiene dos objetivos principales, el de difundir e impartir las enseñanzas de Cristo y el de guiar ,a las personas que sean miembros de la religión, al camino espiritual de Dios[2]​. Esta organización es mayoritaria en México, a la cual se adscriben, según el censo del 2020 a...

 

Пам'ятник Шолому-Алейхему 32°17′16″ пн. ш. 34°51′17″ сх. д. / 32.28804900002777600° пн. ш. 34.85492900002777361° сх. д. / 32.28804900002777600; 34.85492900002777361Координати: 32°17′16″ пн. ш. 34°51′17″ сх. д. / 32.28804900002777600° пн. ш. 34.85492900002777361° сх. д. / 32.28804900002777...

 

2020 film by Venky Kudumula BheeshmaTheatrical release posterDirected byVenky KudumulaWritten byVenky KudumulaProduced bySuryadevara Naga VamsiStarringNithiinRashmika MandannaCinematographySai SriramEdited byNaveen NooliMusic byMahati Swara SagarProductioncompanySithara EntertainmentsDistributed bySithara EntertainmentsRelease date 21 February 2020 (2020-02-21)[1] Running time138 minutesCountryIndiaLanguageTeluguBox office₹40 crore[2] Bheeshma is a 2020 Indian...

Coordenadas: 43° 18' N 10° 37' E Casale Marittimo    Comuna   Localização Casale MarittimoLocalização de Casale Marittimo na Itália Coordenadas 43° 18' N 10° 37' E Região Toscana Província Pisa Características geográficas Área total 14 km² População total 1 006 hab. Densidade 72 hab./km² Altitude 214 m Outros dados Comunas limítrofes Bibbona (LI), Cecina (LI), Guardistallo Código ISTAT 050006 Código cadastral B878 C...

 

Overview of crime in Bangladesh Bangladeshi police car. Crime in Bangladesh is present in various forms such as drug trafficking, money laundering, extortion, contract killing, fraud, human trafficking, robbery, corruption, black marketeering, political violence, terrorism and abduction, wildlife trafficking, among others. Narcotics trafficking Bangladesh is used as a transit route for narcotics produced in neighboring countries.[1] The Annual Report for 2007 from the International Na...

 

Ký hiệu A còng, một phần của địa chỉ Email SMTP.[1] Thư điện tử hay Hòm thư điện tử (email hay e-mail) là một phương thức trao đổi tin nhắn giữa những người sử dụng các thiết bị điện tử. Thư điện tử lần đầu tiên được đưa vào sử dụng hạn chế trong thập niên 60 và đến giữa những năm 1970 có dạng như ngày nay gọi là email (hay e-mail). Thư điện tử hoạt động qua các mạ...

Fictional character Soap opera character Harry RamsayNeighbours characterPortrayed byWilliam MooreDuration2009–2010First appearance18 May 2009Last appearance11 June 2010ClassificationFormer; regularIntroduced bySusan BowerIn-universe informationOccupationStudent at Erinsborough High (2009–2010)Basketball player (2010–)FamilyRamsayFatherPatrick MooneyMotherJill RamsaySistersKate RamsaySophie RamsayUnclesPaul RobinsonFirst cousinsElle RobinsonAndrew Robinson Harry...

 

1969 single by Creedence Clearwater Revival For other uses, see Fortunate Son (disambiguation). Fortunate SonThe US single sleeveSingle by Creedence Clearwater Revivalfrom the album Willy and the Poor Boys A-sideDown on the CornerReleasedOctober 1969Recorded1969, Fantasy Studios, Berkeley, CaliforniaGenre Hard rock[1] rock and roll[2] roots rock[3] Length2:21LabelFantasySongwriter(s)John FogertyProducer(s)John FogertyCreedence Clearwater Revival singles chronology Down...

 

Liqueur that tastes like chocolate Creme de cacao redirects here. For the disco group, see Creme d'Cocoa. For the food ingredient made from fermented cocoa beans, see Chocolate liquor. This article's lead section may be too short to adequately summarize the key points. Please consider expanding the lead to provide an accessible overview of all important aspects of the article. (September 2021) Chocolate liqueurA bottle of crème de cacao Cacao beans Chocolate liqueur is a chocolate flavored l...

Japanese TV series or program Love GenerationTitle screenCreated byKoiwai Hiroyoshi (小岩井宏悦)StarringTakuya KimuraTakako MatsuCountry of originJapanNo. of episodes11ProductionRunning time54 minutesOriginal releaseNetworkFuji TVReleaseOctober 13 (1997-10-13) –December 22, 1997 (1997-12-22) Love Generation (ラブ ジェネレーション, Rabu Jenerēshon) is a drama that aired on Fuji TV. It was first broadcast in Japan from October 13, 1997 to December 22, 1997,...

 

Australian newspaper The Corryong Courier is a newspaper published in Corryong, Victoria, Australia. History Front page of Corryong Courier, 8 January 1914 The paper was first published on 25 January 1894.[1]  H.H Parnaby & A. Albert  were the original owners, followed by Peter Seaton and then T.E Jeans & W.G Jeans. In 1937 William McClure took over and in 1951, his son Col took over before handing it over to his daughter Cyndie and husband Mark Collins in 1993....

 

العلم ثلاثي الألوان هو راية مصممة عادة من ثلاث نطاقات، بثلاثة ألوان مختلفة، إما أفقية أو عمودية، وترمز بالعادة إلى الحقوق المدنية والحرية والثورة. ظهر هذا النظام من الأعلام في القرن السادس عشر الميلادي. استخدم هذا النظام في أعلام كل من فرنسا وإيطاليا والمكسيك وإيرلندا، ال...

Presumed portrait of Sri Jayarajacudamani, in a representation of Prajnaparamita goddess, recognizable to the jina Amitabha in her coiffure, 12th century, Khmer empire, Cambodia.[1] Sri Jayarajacudamani (12th-century), was a princess and queen consort of the Khmer Empire, married to Dharanindravarman II of the Khmer Empire (r. 1150–1160).[2]: 169  She was the daughter of Harshavarman III.[2]: 169  She married before 1125. She best know...

 

Footballer (born 1996) Souleyman Doumbia Doumbia with Angers in 2020Personal informationFull name Souleyman Keli Doumbia[1]Date of birth (1996-09-24) 24 September 1996 (age 27)Place of birth Paris, FranceHeight 1.83 m (6 ft 0 in)[2]Position(s) Left-backTeam informationCurrent team AngersNumber 3Youth career2009–2016 Paris Saint-GermainSenior career*Years Team Apps (Gls)2014–2016 Paris Saint-Germain B 15 (0)2016–2018 Bari 5 (0)2017 → Vicenza (loan) 3...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!