Teorema de Goldbach-Euler

En matemáticas, o teorema de Goldbach-Euler (tamén coñecido como teorema de Goldbach), afirma que a suma de 1/( p − 1) sobre o conxunto de potencias perfectas p, excluíndo 1 e omitindo repeticións, converxe a 1:

${\displaystyle \sum _{p}^{\infty }{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

Este resultado foi publicado por primeira vez no artigo de Euler de 1737 " Variae observations circa series infinitas". Euler atribuíu o resultado a unha carta (agora perdida) de Goldbach.

Proba

A proba orixinal de Goldbach a Euler implicaba asignar unha constante á serie harmónica: ${\displaystyle \textstyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$, que é diverxente . Tal proba non se considera rigorosa polos estándares modernos. Hai unha gran semellanza entre o método de creba de potencias empregado na súa demostración e o método de factorización usado para derivar a fórmula do produto de Euler para a función zeta de Riemann.

Sexa ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+\cdots }$

Xa que a suma do recíproco de toda potencia de 2 é ${\displaystyle \textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }$, restando os termos con potencias de 2 de ${\displaystyle x}$ dá

${\displaystyle x-1=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+\cdots }$

Repetimos o proceso cos termos coas potencias de 3: ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots }$

${\displaystyle x-1-{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}+\cdots }$

Agora están ausentes da suma anterior todos os termos con potencias de 2 e 3. Continuamos a eliminar termos con potencias de 5, 6 e así sucesivamente ata que o lado dereito se esgote ata o valor de 1. Finalmente, obtemos a ecuación

${\displaystyle x-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{9}}-\cdots =1}$

na que reordenamos

${\displaystyle x-1=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+\cdots }$

onde os denominadores consisten en todos os enteiros positivos que son as non potencias menos 1. Restando a ecuación anterior da definición de ${\displaystyle x}$ dado anteriormente, obtemos

${\displaystyle 1={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}+\cdots }$

onde os denominadores consisten agora só en potencias perfectas menos 1.

Aínda que carece de rigor matemático, a demostración de Goldbach proporciona un argumento razoablemente intuitivo para a verdade do teorema. As probas rigorosas requiren un tratamento axeitado e máis coidadoso dos termos diverxentes da serie harmónica.

Demostración rigorosa

Esta demostración utiliza o feito de que podemos reducir o problema á suma dos recíprocos das potencias perfectas con repeticións, que é igual a 1^[1].

De feito podemos notar que unha potencia perfecta son os enteiros ${\displaystyle a\geqslant 2}$ que non son potencia perfecta elevados a unha potencia ${\displaystyle \geqslant 2}$.

A suma solicitada é, polo tanto, igual a ${\displaystyle S=\sum _{a\in Q}\sum _{k\geqslant 2}{\frac {1}{a^{k}-1}}}$ onde ${\displaystyle Q}$ é o conxunto dos números que non son potencias perfectas.

Segundo a fórmula de unha serie xeométrica, podemos escribir ${\displaystyle S=\sum _{a\in Q}\sum _{k\geqslant 2}\sum _{i\geqslant 1}{\frac {1}{a^{ik}}}}$; pero o ${\displaystyle a^{i}}$ onde ${\displaystyle a\geqslant 2}$ non é unha potencia perfecta e ${\displaystyle i}$ un enteiro ${\displaystyle \geqslant 1}$ realmente cobre todos os ${\displaystyle \geqslant 2}$ enteiros. Entón, ${\displaystyle S=\sum _{n\geqslant 2}\sum _{k\geqslant 2}{\frac {1}{n^{k}}}}$ que é igual a 1 (ver tamén potencia perfecta):

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(n-1)}}=\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)=1.}$

Notas

1. University of South Alabama Problem Group and Z. A. Melzak (1986). "Solution of problem E2999" 93. American mathematical monthly: 402–403. 

Véxase tamén

Bibliografía

• Viader, Pelegrí; Bibiloni, Lluís; Paradís, Jaume (2006). "On a series of Goldbach and Euler" (PDF). American Mathematical Monthly 113 (3). pp. 206–220. JSTOR 27641889. doi:10.2307/27641889. hdl:10230/382. .
• Graham, Ronald; Donald Knuth; Oren Patashnik (1988). Concrete Mathematics. Addison-Wesley. ISBN 0-201-14236-8. 

Outros artigos

• Lista de sumas de recíprocos.