Polígono regular

Un polígono regular de sete lados

En xeometría, denomínase polígono regular a un polígono con lados e ángulos interiores iguais entre si. Os polígonos regulares de tres e catro lados chámanse triángulo equilátero e cadrado, respectivamente. Para polígonos de máis lados, engádese o termo regular (pentágono regular, hexágono regular, octógono regular etc). Só algúns polígonos regulares poden ser construídos con regra e compás.^[1]

Elementos dun polígono regular

• Lado, L: é cada un dos segmentos que forman o polígono.
• Vértice, V: o punto de unión de dous lados consecutivos.
• Centro, C: o punto central equidistante de todos os vértices.
• Raio, r: o segmento que une o centro do polígono cun dos seus vértices.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, ata o centro do polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dous vértices non contiguos.
• Perímetro, P: é a suma da medida da súa contorna.
• Semiperímetro, SP: é a semisuma do perímetro.
• Saxita, S: parte do raio comprendida entre o punto medio do lado e o arco de circunferencia. A suma do apotema: a máis a saxita: S, é igual ao raio: r.

Propiedades dun polígono regular

• os polígonos regulares son equiláteros, posto que todos os seus lados son da mesma medida.
• os polígonos regulares son equiangulares, posto que todos os seus ángulos interiores teñen a mesma medida.
• os polígonos regulares pódense inscribir nunha circunferencia.

Ángulos dun polígono regular

Ángulos dun polígono regular.

• Todos os ángulos centrais dun polígono regular son congruentes e a súa medida α pode obterse a partir do número de lados n do polígono como segue:

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en graos sexaxesimais

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radiáns

• O ángulo interior, ${\displaystyle \beta \,}$, dun polígono regular mide:

${\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en graos sexaxesimais

${\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en radiáns

• A suma dos ángulos interiores, ${\displaystyle \sum \beta \;}$, dun polígono regular é de:

${\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;}$ en graos sexaxesimais

${\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;}$ en radiáns

• O ángulo exterior, ${\displaystyle \gamma \;}$, dun polígono regular é de:

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en graos sexaxesimais

${\displaystyle \gamma =\pi -\beta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radiáns

• A suma dos ángulos exteriores, ${\displaystyle \sum \gamma \,}$, dun polígono regular é:

${\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;}$ en graos sexaxesimais

${\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;}$ en radiáns

Galería de polígonos regulares

• 
  Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)
• 
  Cadrado (cuadrilátero regular) (4)
• 
  Pentágono regular (5)
• 
  Hexágono regular (6)
• 
  Heptágono regular (7)
• 
  Octógono regular (8)
• 
  Enneágono regular (9)
• 
  Decágono regular (10)
• 
  hendecágono regular (11)
• 
  Dodecágono regular (12)
• 
  Tridecágono regular (13)
• 
  Tetradecágono regular (14)

Observación: A medida que aumenta o número de lados dun polígono regular, aseméllase máis a unha circunferencia.

Área dun polígono regular

Existen diversas fórmulas para calcular a área dun polígono regular, dependendo dos elementos coñecidos.

En función do perímetro e o apotema

A área dun polígono regular, coñecendo o perímetro e o apotema é:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}$

• Partindo do triángulo que ten por base un lado L, do polígono e altura o seu apotema a, a área deste triángulo, é:

${\displaystyle A_{t}={\frac {L\cdot a}{2}}\;}$

• Un polígono de n lados, ten n destes triángulos, polo tanto a área do polígono será:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n\;}$

• Sabendo que a lonxitude dun lado L, polo número n de lados, é o perímetro P, tense:

${\displaystyle A_{p}={\frac {P\cdot a}{2}}\;}$

En función do número de lados e o apotema

Sabendo que:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}}$

Ademais ${\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ }$, xa que é a metade dun ángulo central (considerado en radiáns).

Observando a imaxe, é posible deducir que:

${\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Substituíndo o lado:

${\displaystyle A_{p}={\frac {\left(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right)\cdot n\cdot a}{2}}}$

Finalmente:

${\displaystyle A_{p}=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Con esta fórmula pódese determinar a área co número de lados e o apotema, sen necesidade de recorrer ao perímetro.

En función do número de lados e o raio

Un polígono queda perfectamente definido polo seu número de lados n, e o raio r, polo tanto pódese determinar cal é a súa área; á vista da figura, tense que:

${\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;}$

${\displaystyle a=r\cos({\delta })\;}$

onde o ángulo central é:

${\displaystyle \alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$

sabendo que a área dun polígono é:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}$

e substituíndo o valor do lado e o apotema calculados antes, tense:

${\displaystyle A_{p}={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;}$

ordenando:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;}$

sabendo que:

${\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;}$

resulta:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;}$

ou o que é o mesmo:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}$

Con esta expresión pódese calcular a área do polígono, coñecendo só o número de lados e o seu raio, o que resulta útil en moitos casos.

En función da lonxitude e o número de lados

Se se quere expresar a área en función do lado, pódese calculalo da seguinte maneira:

${\displaystyle A_{p}=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}}$

Sexa ${\displaystyle \varphi }$ o ángulo formado polo Lado "L" e o raio "r":

${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}\;{\frac {(n-2)}{n}}}$

O valor do apotema en función do lado será, pola definición da tanxente:

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}}$

Despexando o apotema tense:

${\displaystyle a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}}$

Substituíndo o apotema polo seu valor:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}A_{p}=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad A_{p}=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}$

Pódese ver no debuxo que ${\displaystyle tan(\delta )={\frac {1}{tan(\varphi )}}}$ e a fórmula pode escribirse tamén como ${\displaystyle A_{p}={\frac {n\cdot L^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180^{o}}{n}}\right)}}}$.

Co que coñecendo o número de lados do polígono regular e a lonxitude do lado pódese calcular a súa superficie.

Diagonais dun polígono regular

Número de diagonais

Para determinar o número de diagonais N_d, dun polígono de n vértices realízase o seguinte razoamento:

• Dun vértice calquera partirán (n – 3) diagonais, onde n é o número de vértices, dado que non hai ningún diagonal que o unha consigo mesmo nin con ningún dos dous vértices contiguos.
• Isto é válido para os n vértices do polígono.
• Unha diagonal une dous vértices, polo que aplicando o razoamento anterior teríanse o dobre de diagonais das existentes.

Segundo o razoamento tense que:

${\displaystyle N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}}$

Lonxitude da diagonal máis pequena

A diagonal máis pequena dun polígono regular é a que une dous vértices alternos. Para determinar a súa lonxitude, pártese do ángulo central e do raio, o raio que pasa polo vértice intermedio, corta a diagonal no punto A; este raio e a diagonal son perpendiculares en A.

O triángulo VAC é rectángulo en A, polo tanto:

${\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {\frac {d}{2}}{r}}}$

que resulta:

${\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {d}{2r}}}$

de onde se deduce que:

${\displaystyle d=2r\sin({\alpha })\,}$

Sabendo o valor do ángulo central:

${\displaystyle d=2r\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

A diagonal máis pequena dun polígono regular, só depende do raio e do número de lados, sendo maior canto maior sexa o raio e diminuíndo de lonxitude cando aumenta o número de lados do polígono.

Lonxitude das diagonais

En xeral a lonxitude das diagonais dun polígono regular vén dada pola relación de recorrencia

${\displaystyle d_{k}^{2}=L^{2}+d_{k-1}^{2}+2\cdot L\cdot d_{k-1}\cdot \cos {\left({\frac {k+1}{n}}\pi \right)}}$

${\displaystyle L=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle d_{1}=4\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle d_{2}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}}$

${\displaystyle d_{3}^{2}=4\cdot r^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)\left(2+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)+2{\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}\cos \left({\frac {4\cdot \pi }{n}}\right)\right)}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle d_{k}=r\cdot {\sqrt {2\left(1-\cos \left({\frac {2\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)\right)}}}$

${\displaystyle d_{k}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)}$

Notas

1. RegularPolygon en MathWorld

Véxase tamén

Bibliografía

• Echegaray, José (2001). Xeometría: ángulos, polígonos e circunferencias (en castelán) (1 ed.). Editorial Bruño. p. 32. ISBN 978-84-216-4219-1. 
• Equipo: Rosalía de Castro (2000). Xeometría, polígonos, circunferencia e círculo (en castelán) (1 ed.). Editorial Acueducto, S.L. p. 32. ISBN 978-84-95523-32-7. 
• Xeometría, polígonos, circunferencia e círculo, Educación Primaria (en español) (1 ed.). Editorial Escudo, S.L. 1997. p. 32. ISBN 978-84-89833-36-4. 

Ligazóns externas

• Polígono regular Arquivado 11 de xuño de 2017 en Wayback Machine.