Pendente (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Pendente.

Pendente dunha estrada

En matemáticas e ciencias aplicadas denomínase pendente á inclinación dun elemento linear, natural ou construtivo respecto da horizontal.

En xeometría analítica, pode referirse á pendente da recta ou coeficiente angular^[1] como caso particular da tanxente a unha curva, en cuxo caso representa a derivada da función no punto considerado, e é un parámetro relevante, por exemplo, no trazado altimétrico de estradas, vías férreas ou canais.

Ángulo de inclinación

O ángulo α, definido tal como aparece na figura, chámase ángulo de inclinación da recta respecto ao eixe OX. A tanxente trigonométrica do ángulo de inclinación ${\displaystyle \alpha }$ chámase coeficiente angular da recta e adoita designarse coa letra ${\displaystyle k}$. Nese caso

${\displaystyle k=\tan(\alpha )}$

En realidade, o coeficiente angular e a pendente teñen o mesmo significado xeométrico. Na ecuación ${\displaystyle y=kx+b}$ que involucra o coeficiente angular e a ordenada na orixe ${\displaystyle k}$ é o coeficiente angular e ${\displaystyle b}$ a ordenada na orixe.^[2]

Pendente dunha recta

Pendente: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$

A pendente dunha recta nun sistema de representación rectangular (dun plano cartesiano), adoita estar representada pola letra ${\displaystyle m}$, e está definida como a diferenza no eixe Y dividido pola diferenza no eixe X para dous puntos distintos nunha recta, é dicir,

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Xeometría

Unha recta horizontal ten pendente igual a 0 (cero). Canto menor sexa o valor da pendente, menor inclinación ten a recta; por exemplo, unha recta que se eleve un ángulo de 45° con respecto ao eixe X ten pendente ${\displaystyle m=+1}$, e unha recta que caia 30° ten pendente ${\displaystyle m=-0,5}$. A pendente dunha recta vertical non está definida.

O ángulo ${\displaystyle \theta }$ que unha recta forma co eixe horizontal está relacionado coa pendente ${\displaystyle m}$ por medio da relación trigonométrica:

${\displaystyle m=\tan \,\theta }$

ou equivalentemente:

${\displaystyle \theta =\arctan \,m}$

Dúas ou máis rectas son paralelas se ambas posúen a mesma pendente, ou se ambas son verticais e polo tanto non teñen pendente definida; dúas ou máis rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre elas) se o produto das súas pendentes é igual a -1.

Pendente das ecuacións da recta

Tres liñas rectas. As liñas vermella e azul posúen a mesma pendente (m), neste caso ½, mentres que as liñas vermella e verde intersecan o eixe y no mesmo punto, polo que posúen idéntico valor da ordenada na orixe (b), neste caso 1

Se y é unha función linear de x, entón o coeficiente de x é a pendente da recta. Polo tanto, se a ecuación está dada por

${\displaystyle y=mx+b\,}$

m é a pendente. Nesta ecuación, o valor de ${\displaystyle b}$ pode ser interpretado como o punto en que a recta se interseca co eixe Y, é dicir, o valor de ${\displaystyle y}$ cando ${\displaystyle x=0}$. Este valor tamén se chama ordenada na orixe.

Se a pendente ${\displaystyle m}$ dunha recta e o punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ da recta son coñecidos, entón a ecuación da recta pode ser atopada con

${\displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0})\,}$

A pendente da recta na fórmula xeral:

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

está dada por:

${\displaystyle m=-{\frac {A}{B}}}$

Propiedades

• Tendo como datos os coeficientes angulares de dúas rectas ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$, un dos ángulos μ formados por estas dúas rectas determínase mediante a fórmula

${\displaystyle tan\mu ={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}}$.

• O paralelismo entre dúas rectas dáse se existe igualdade entre os seus coeficientes angulares

${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$.

• A perpendicularidade de dúas rectas determínase polas relacións:

${\displaystyle k_{1}k_{2}=-1}$ o ${\displaystyle k_{2}=-{\frac {1}{k_{1}}}}$.^[3]

• Se na ecuación ${\displaystyle y=kx+b}$ se mantén constante k, variando só b, tense unha familia de rectas paralelas con coeficiente angular constante k, que cobre todo o plano, ao percorrer b todo o conxunto ℝ.

Cálculo

Representación gráfica da derivada.

O concepto de pendente é central no cálculo diferencial. A pendente dunha recta é a tanxente do ángulo que forma a recta coa dirección positiva do eixe de abscisas. En funcións non lineares, a razón de cambio varía ao longo da curva. A derivada da función nun punto dado é a pendente da recta tanxente nese punto.

Notas

1. Kletenik. Geometría analítica. Editorial Mir, Moscova.
2. D. Kleténik. Problemas de geometría analítica. Editorial Mir, Moscova (1968)
3. Kleténik. Op. cit.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• "Slope of a Line (Coordinate Geometry)" (en inglés). Math Open Reference. 2009. Consultado o 30 de outubro de 2016.