Hipérbole (xeometría)

Este artigo trata sobre a curva. Para o recurso estilístico véxase: Hipérbole.

As asíntotas da hipérbole son as liñas descontinuas azuis que se cortan no centro da hipérbole (curvas rubias), C. Os dous puntos focais denomínanse F₁ e F₂, e a liña negra que os une é o eixe transversal. A liña fina perpendicular en negro que pasa polo centro é o eixe conxugado, mentres que as dúas liñas grosas en negro paralelas ao eixe conxugado (ou perpendiculares ao eixe transversal) son as dúas directrices, D₁ e D₂. A excentricidade e (e>1), é igual ao cociente entre as distancias (en verde) desde un punto P da hipérbole até un dos focos e a súa correspondente directriz. Os dous vértices atópanse no eixe transversal a unha distancia ±a con respecto ao centro.

Unha hipérbole (do grego ὑπερβολή) é unha sección cónica, unha curva aberta de dúas pólas obtida de cortar un cono recto por un plano oblicuo ao eixe de simetría cun ángulo menor que o da xeratriz respecto do eixe de revolución.^[1]

Unha hipérbole é o lugar xeométrico dos puntos dun plano tales que o valor absoluto da diferenza das súas distancias a dous puntos fixos, chamados focos, é igual á distancia entre os vértices, que é unha constante positiva.

Etimoloxía

Seccións cónicas.

Hipérbole deriva da verba grega ὑπερβολή (exceso), e é cognado de hipérbole (a figura literaria que equivale a esaxeración).

Historia

Debido á inclinación do corte, o plano da hipérbole interseca ambas ramas do cono.

Segundo a tradición, as seccións cónicas foron descritas por primeira vez por Menecmo, no seu estudo do problema da duplicación do cubo,^[2] onde demostra a existencia dunha solución mediante o corte dunha parábola cunha hipérbole, o cal é confirmado posteriormente por Proclo e Eratóstenes.^[3]

Mais o primeiro en usar o termo de hipérbole foi Apolonio de Perge no seu tratado Cónicas,^[4] considerada a obra maior sobre o tema das matemáticas gregas, e onde se desenvolve o estudo das tanxentes das seccións cónicas.

Ecuacións da hipérbole

Ecuacións en coordenadas cartesianas:

Ecuación dunha hipérbole con centro na orixe de coordenadas ${\displaystyle (0,0)\,}$ (forma canónica). ${\displaystyle a\,}$ é o semieixo maior (metade da distancia entre as dúas pólas), e ${\displaystyle b\,}$ é o semieixo menor.

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Ecuación dunha hipérbole con centro en ${\displaystyle (h,k)\,}$

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}$

Ecuación da hipérbole na súa forma complexa:

Unha hipérbole no plano complexo é o lugar xeométrico formado por un conxunto de puntos ${\displaystyle z\,}$ (complexos), no plano ${\displaystyle ReIm\,}$; tales que, calquera deles satisfai a condición xeométrica de que o valor absoluto da diferenza das súas distancias ${\displaystyle |z-w_{1}|-|z-w_{2}|\,}$, a dous puntos fixos chamados focos${\displaystyle w_{1}\,}$ e ${\displaystyle w_{2}\,}$, é unha constante positiva igual ao dobre da distancia (é dicir, ${\displaystyle 2l\,}$ ) que existe entre o seu centro e calquera dos seus vértices do eixe focal.

A ecuación queda: ${\displaystyle |z-w_{1}|-|z-w_{2}|=2l\,}$

Ecuacións en coordenadas polares:

Dúas hipérboles e as súas asíntotas.

Hipérbole aberta de dereita a esquerda:

${\displaystyle r^{2}=a\sec 2\theta \,}$

Hipérbole aberta de arriba a abaixo:

${\displaystyle r^{2}=-a\sec 2\theta \,}$

Hipérbole aberta de nordeste a suroeste:

${\displaystyle r^{2}=a\csc 2\theta \,}$

Hipérbole aberta de noroeste a sueste:

${\displaystyle r^{2}=-a\csc 2\theta \,}$

Ecuacións paramétricas:

Hipérbole aberta de dereita a esquerda:

${\displaystyle {\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cosh t+h\\y=b\sinh t+k\\\end{matrix}}}$

Hipérbole aberta de arriba a abaixo:

${\displaystyle {\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=a\sinh t+h\\y=\pm b\cosh t+k\\\end{matrix}}}$

En todas as formulas (h,k) son as coordenadas do centro da hipérbole, a é a lonxitude do semieixe maior, b é a lonxitude do semieixe menor.

Notas

1. Se o ángulo de plano intersección, respecto do eixe de revolución, é maior que o comprendido entre a xeratriz e o eixe de revolución, a intersección será unha elipse, será unha parábola se é paralelo ao dito eixe, e unha circunferencia se é perpendicular ao eixe.
2. Heath, Sir Thomas (1921). Oxford University Press, ed. A history of Greek Mathematics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra. OCLC 2014918. 
3. Schmarge, Ken. "Conic Sections in Ancient Greece" (en inglés). Consultado o 10 de outubro de 2011. 
4. J. J. O'Connor e E. F. Robertson. "Apollonius of Perga" (en inglés). Consultado o 10-X-2011. 

Véxase tamén

Ligazóns externas

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Hipérbole

• Animación dun plano seccionando un cono e determinando a curva cónica hipérbole (en castelán)
• Derivación da hipérbole de Apollonius en Convergence (en inglés)