Fórmula cadrática

As raíces da función cadrática y = 1/2x² − 3x + 5/2 ⁠ son os lugares onde a gráfica corta o eixo x, os valores x = 1 e x = 5. Pódense atopar mediante a fórmula cadrática.

En álxebra elemental, a fórmula cadrática é unha expresión en forma pechada que describe as solucións dunha ecuación cadrática. Outras formas de resolver ecuacións de segundo grao, como completar o cadrado, dan as mesmas solucións.

Dada unha ecuación cadrática xeral da forma ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$, sendo ${\displaystyle x}$ unha incógnita, e coeficientes ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ números reais ou complexos coñecidos con ${\displaystyle a\neq 0}$. Os valores ${\displaystyle x}$ que satisfán a ecuación, chamadas raíces ou ceros, pódense atopar usando a fórmula cadrática,

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$$

onde o símbolo máis–menos "${\displaystyle \pm }$" indica que a ecuación ten dúas raíces. Escritos por separado, son:

$${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

A cantidade ${\displaystyle \textstyle \Delta =b^{2}-4ac}$ coñécese como o discriminante da ecuación de segundo grao.^[1] Se os coeficientes ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, son números reais daquela ${\displaystyle \Delta >0}$, a ecuación ten dúas raíces reais distintas; se ${\displaystyle \Delta =0}$, a ecuación ten unha raíz real repetida; e se ${\displaystyle \Delta <0}$, a ecuación non ten raíces reais mais ten dúas raíces complexas distintas, que son complexas conxugadas entre si.

Xeométricamente, as raíces representan os valores de ${\displaystyle x}$ nos que a gráfica da función cadrática ${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$, unha parábola, cruza o eixe ${\displaystyle x}$. ^[2] A fórmula cadrática tamén se pode usar para identificar o eixe de simetría da parábola.^[3]

Obtención completando o cadrado

Para completar o cadrado, forma un binomio cadrado no lado esquerdo dunha ecuación cadrática, a partir da cal se pode atopar a solución tomando a raíz cadrada de ambos os dous lados.

A forma estándar de obter a fórmula cadrática é aplicar o método de completar o cadrado á ecuación cadrática xenérica ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$ ^{[4] [5] [6] [7]} A idea é manipular a ecuación na forma ${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}=s}$ para expresións ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle s}$ en termos dos coeficientes; tomar a raíz cadrada de ambos os dous lados; e despois resolver ${\displaystyle x}$.

Comezamos dividindo a ecuación polo coeficiente cadrático ${\displaystyle a}$. Despois, restamos o termo constante ${\displaystyle c/a}$ e pasalo para o lado dereito:

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2{\vphantom {|}}}+bx+c&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}.\end{aligned}}}$$

O lado esquerdo agora ten a forma ${\displaystyle x^{2}+2kx}$ e podemos "completar o cadrado" engadindo unha constante ${\displaystyle \textstyle k^{2}}$ e obter un cadrado ${\displaystyle x^{2}+2kx+k^{2}=x^{2}+2kx+k^{2}=}$ ${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}}$. Neste exemplo se corresponde con engadirmos ${\displaystyle \textstyle (b/2a)^{2}}$ a ambos os dous lados para que o lado esquerdo se poida poñer como un binomio:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\[5mu]\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Como o lado esquerdo agora é un cadrado perfecto, podemos tomar facilmente a raíz cadrada de ambos os dous lados:

$${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$$

Finalmente

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

Significado xeométrico

En termos de xeometría de coordenadas, unha parábola é unha curva cuxos ${\displaystyle (x,y)}$ son a gráfica dun polinomio de segundo grao, da forma ${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$, onde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ son coeficientes constantes de valor real con ${\displaystyle a\neq 0}$.

Xeométricamente, a fórmula cadrática define os puntos ${\displaystyle (x,0)}$ na gráfica, onde a parábola cruza o eixo ${\displaystyle x}$. Ademais, pódese dividir en dous termos,

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$$

O primeiro termo ${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{2a}}}$ describe o eixe de simetría, o segundo termo, ${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}/2a}$, dá a distancia que están as raíces do eixe de simetría.

Se o vértice da parábola está no eixo ${\displaystyle x}$, entón a ecuación correspondente ten unha única raíz repetida na liña de simetría e este termo de distancia é cero; alxebricamente, o discriminante ${\displaystyle b^{2}-4ac=0}$.

Se o discriminante é positivo, entón o vértice non está exactamente sobre o eixo ${\displaystyle x}$ mais a parábola ábrese na dirección do eixo ${\displaystyle x}$, cruzándoo dúas veces, polo que a ecuación correspondente ten dúas raíces reais. Se o discriminante é negativo, a parábola ábrese na dirección oposta, sen cruzar nunca o eixo ${\displaystyle x}$, e a ecuación non ten raíces reais; neste caso, as dúas raíces con valores complexos serán conxugados complexos cuxa parte real é o ${\displaystyle x}$ do eixe de simetría.

Notas

1. "discriminant". Khan Academy. 
2. "quadratic-formula-explained-article". Khan Academy. 
3. "axis-of-symmetry". www.mathwarehouse.com. 
4. Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004). Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra. The McGraw–Hill Companies. Chapter 13 §4.4, p. 291. ISBN 0-07-141083-X. 
5. Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."
6. Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
7. Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Fórmula cadrática

Bibliografía

• Smith, David Eugene (1923). History of Mathematics 2. Boston: Ginn. 
• Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. ISBN 978-0-88385-783-0. 

Outros artigos

• Ecuación de segundo grao
• Función cadrática
• Fórmulas de Viète