Filtro de resposta infinita ó impulso

Os filtros de resposta infinita ó impulso (IIR) teñen unha función de resposta ó impulso que é non-cero durante unha duración de tempo infinita. Isto contrasta cos filtros de resposta finita ó impulso (FIR) que teñen respostas ó impulso finitas. O filtro IIR analóxico máis sinxelo é un filtro RC feito dunha soa resistencia (R) alimentando un nodo compartido por un só condensador (C). Dito filtro ten unha resposta ó impulso exponencial caracterizada pola constante de tempo RC.

Os filtros recursivos son filtros de procesado do sinal que reutilizan unha ou máis saídas do filtro como entradas. Esta realimentación dá lugar a unha resposta ó impulso sen fin caracterizada por compoñentes do sinal de saída exponencialmente crecentes, decrecentes ou sinusoidais.

Os filtros IIR poden ser implementados tanto como analóxicos como dixitais. Nos filtros IIR dixitais, a realimentación da saída móstrase de forma inmediata nas ecuacións que definen a saída. Téñase en conta que, ó contrario dos filtros FIR, ó deseñar filtros IIR é necesario considerar con moito coidado o caso de "tempo cero", no que as saídas do filtro non foron claramente definidas.

Na práctica, os enxeñeiros eléctricos encontran os filtros IIR rápidos e baratos, pero con características de filtrado de banda e estabilidade peores que as dos filtros FIR.

Exemplos de filtros IIR inclúen o filtro Chebyshev, filtro Butterworth, e o filtro Bessel.

Función de transferencia

No deseño de filtros IIRm, os enxeñeiros fan uso a miúdo da función de transferencia:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}}$

Un filtro IIR é caracterizado tipicamente polo seu orde, que é o número de termos polinomiais no denominador da función de transferencia. Nas implementacións de filtros dixitais a orde é equivalente ó número de valores temporais da saída que son retro alimentados á entrada. Nas implementacións analóxicas a orde refírese a miúdo ó número de condensadores ou bobinas usados no circuíto do filtro.

Un filtro IIR que teña ${\displaystyle P}$ etapas directas ("b(k)" coeficientes) e ${\displaystyle Q}$ etapas de realimentación ("a(k)" coeficients) ten a seguinte forma:

${\displaystyle y(n)=\left[b(0)x(n)+b(1)x(n-1)+\cdots +b(P)x(n-P)\right]+\left[a(1)y(n-1)+a(2)y(n-2)+\cdots +a(Q)y(n-Q)\right]}$

${\displaystyle y(n)=\sum _{k=0}^{P}b(k)x(n-k)+\sum _{k=1}^{Q}a(k)y(n-k)}$

e tras realiza-la transformada z

${\displaystyle H(z)={\frac {\sum _{k=0}^{P}b(k)z^{-k}}{1-\sum _{k=1}^{Q}a(k)z^{-k}}}}$

Diagrama de bloques

Un diagrama de bloques típico dun filtro IIR e parecido ó seguinte. Un bloque "TW é unha unidade de retardo. Os coeficientes e números de camiños de alimentación/retroalimentación son dependentes da implementación.

Estabilidade

A estabilidade dun filtro IIR pode ser avaliada comprobando a rexión de converxencia da transformada Z. Se todos os polos están dentro do círculo unidade (p.e., ${\displaystyle |z_{p}|<1}$) entón o filtro é estable.

Pola definición de rexión de converxencia, se o sistema é estable entón ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }|h(k)|<\infty }$ será verdadeiro. Se o sistema é inestable, entón a suma será ${\displaystyle \infty }$.

Os filtros IIR son ás veces preferidos ós filtros FIR porque un filtro IIR pode obter unha rexión de transición máis abrupta que un filtro FIR do mesmo orde.

Exemplo

Supoñamos que a función de transferencia dun filtro H sexa

${\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{B(z)}}={\frac {1}{1-az^{-1}}}}$ con ROC ${\displaystyle a<|z|}$ e ${\displaystyle 0<a<1}$

a cal ten un polo en a, é estable e causal. A resposta ó impulso no dominio do tempo é

${\displaystyle h(n)=a^{n}u(n)}$

que é non-cero para ${\displaystyle n>=0}$.

Véxase tamén

• Filtro electrónico.
• Resposta finita ó impulso.
• Análise de sistemas.

Ligazóns externas

• The fifth module of the BORES Signal Processing DSP course - Introduction to DSP