Derivación (matemática)

Para a derivación en cálculo, véxase Derivada.

Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica.

Derivación.

A derivación, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.

É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente.

Definición de derivación

Sexa ${\displaystyle M}$ unha variedade diferenciábel e ${\displaystyle p\in M}$, chamaremos derivación no punto ${\displaystyle p}$ a

${\displaystyle \forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow \mathbb {R} }$ aplicación ${\displaystyle \mathbb {R} -}$ lineal, é dicir:

${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$, ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} }$,

• ${\displaystyle \delta _{p}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)}$,

• ${\displaystyle \delta _{p}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)}$.

e tal que ${\displaystyle \delta _{p}(f\cdot g)=\delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g)}$, ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$, é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.

Observación

${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ é o conxunto de funcións diferenciábeis en ${\displaystyle M}$, e é un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$ álxebra conmutativa, (é un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$espazo vectorial).

${\displaystyle f_{|p}}$ é equivalente a ${\displaystyle f(p)}$, é dicir, ${\displaystyle f}$ avaliado no punto ${\displaystyle p}$.

Exemplos de derivación

A derivada parcial

Sexa ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle p\in M}$, vexamos que a aplicación seguinte é derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{\mathcal {F}}(M)&\longrightarrow &\mathbb {R} \;.\\&f&\mapsto &{\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}}$

Demostración:

Vexamos primeiro que é ${\displaystyle \mathbb {R} -}$lineal, é dicir, que ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$ e ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} }$ vemos que:

• ${\displaystyle {\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}}$,

• ${\displaystyle {\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}}$.

Vexamos finalmente que é unha derivación:

${\displaystyle {\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}}$.

Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.

A derivada direccional

Sexa ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle p\in M}$ e ${\displaystyle v\in M:\|v\|=1}$, pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{\mathcal {F}}(M)&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&f&\mapsto &{\cfrac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}}$.

Definicións

Plano tanxente.

Sexa ${\displaystyle M}$ unha variedade diferenciábel e ${\displaystyle p\in M}$, chamaremos espazo tanxente a ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle p}$ ao ${\displaystyle \mathbb {R} -}$espazo vectorial das derivacións de ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle p}$, notado por ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}M}$, e os seus elementos chamaranse vectores tanxentes a ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle p}$.

Consecuencias

Propiedade da derivación dunha función localmente constante

Sexa ${\displaystyle M}$ unha variedade diferenciábel, ${\displaystyle p\in M}$, ${\displaystyle \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$ e ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$ tal que ${\displaystyle \exists U}$ contorno aberto en ${\displaystyle p}$ onde ${\displaystyle f(x)=\lambda }$, ${\displaystyle \forall x\in M}$, entón temos que ${\displaystyle \delta _{p}f=0}$.

Demostración:

Por linealidade de ${\displaystyle \delta _{p}}$ temos

${\displaystyle \delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=\lambda \delta _{p}(1)}$,

aquí, aplicando a condición de derivación a ${\displaystyle \delta _{p}(1)}$ temos

${\displaystyle \delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=\delta _{p}(1)1+1\delta _{p}(1)=\delta _{p}(1)+\delta _{p}(1)}$,

de simplificar este último, resulta ${\displaystyle \delta _{p}(1)=0}$, aplicándoo ao anterior resulta que ${\displaystyle \delta _{p}(f)=0}$.

Exemplo

Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$:

• a función meseta ${\displaystyle \rho }$ asociada a ${\displaystyle (p,V)}$, onde ${\displaystyle \rho (x)=1,}$ ${\displaystyle \forall x\in k\subset V,\;k}$ compacto cuxo interior contén a ${\displaystyle p}$.

Propiedade da derivación do produto coa función meseta

Sexa ${\displaystyle M}$ unha variedade diferenciábel, ${\displaystyle p\in M}$, ${\displaystyle \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$, ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$ e ${\displaystyle \rho }$ unha función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)}$, temos que:

${\displaystyle \delta _{p}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f)}$.

Demostración:

Aplicando a regra de Leibniz temos que ${\displaystyle \delta _{p}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)}$, pola propiedade anterior temos que ${\displaystyle \delta _{p}(\rho \cdot f)=0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}(f)=\delta _{p}(f).}$

Propiedade

Sexa ${\displaystyle M}$ unha variedade diferenciábel, ${\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$ e ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$ tal que ${\displaystyle \exists V}$ contorno aberto en ${\displaystyle p}$ onde ${\displaystyle f_{|V}=g_{|V}}$, entón temos que:

${\displaystyle \delta _{p}(f)=\delta _{p}(g)}$.

Demostración:

Sexa ${\displaystyle \rho }$ unha función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)}$, temos así que ${\displaystyle \rho \cdot f=\rho \cdot g}$ en todo ${\displaystyle M}$ tamén ${\displaystyle \rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)}$ por tanto ${\displaystyle \delta _{p}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho \cdot g)}$, e pola propiedade anterior temos que ${\displaystyle \delta _{p}(f)=\delta _{p}(g)}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.