Crebacabezas das partillas de 17 animais

17 camelos indivisibles.

O crebacabezas das partillas de 17 animais é un crebacabezas matemático que implica a distribución desigual pero xusta de bens indivisibles. Normalmente expresado en termos de herdanza dun número de animais (17 camelos, 17 cabalos, 17 elefantes etc.) que deben dividirse nalgunha proporción indicada entre un número de beneficiarios.

Máis aló das matemáticas recreativas e da educación matemática, a historia repetiuse como unha parábola con variados significados metafóricos. Unha versión do crebacabezas pódese remontar ás obras de Mulla Muhammad Mahdi Naraqi, un filósofo iraniano do século XVIII. Ingresou na literatura matemática recreativa occidental a finais do século XIX. Varios matemáticos formularon diferentes xeneralizacións do crebacabezas a números distintos do 17.

Enunciado

Un home morre deixando 17 camelos (ou pitas, ou calquera animal) aos seus tres fillos, que se dividirán nas seguintes proporcións: o fillo maior debería herdar ¹⁄₂ da propiedade do home, o fillo medio debería herdar ¹⁄₃, e o fillo menor debería herdar ¹⁄₉ Como deberían dividir os camelos, observando que só un camelo vivo ten valor? ^[1]

Solución

Solución ao crebacabezas das partillas de 17 animais.

Como adoita dicirse, para resolver o enigma, os tres fillos piden a axuda doutro home, moitas veces un cura, un xuíz ou outro funcionario local. Este home resolve o crebacabezas do seguinte xeito: presta aos tres fillos o seu propio camelo, de modo que agora quedan 18 camelos por dividir. Iso deixa nove camelos para o fillo maior, seis camelos para o fillo medio e dous camelos para o fillo menor, nas proporcións que se demandan para a herdanza. Estes 17 camelos deixan un camelo sobrante, que o xuíz toma como propio. ^[1] Isto é posible xa que a suma das fraccións é menor que un: 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18.

Isto ten unha característica adicional desta solución: cada fillo está satisfeito, porque recibe máis camelos que a súa herdanza inicialmente declarada. O fillo maior foi orixinalmente prometido só 8+1/2 camelos, pero recibe 9; o fillo medio foi prometido 5+2/3, pero recibe 6; e o máis novo foi prometido 1+8/9 , pero recibe 2. ^[2]

Pódese solucionar aplicando o algoritmo cobizoso para fraccións exipcias, ao mínimo común múltiplo dos denominadores

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\Big \lceil }{\frac {18}{17}}{\Big \rceil }=2,\quad {\frac {17}{18}}-{\frac {1}{2}}={\frac {17}{18}}-{\frac {9}{18}}={\frac {8}{18}}.\\&{\Big \lceil }{\frac {18}{8}}{\Big \rceil }=3,\quad {\frac {8}{18}}-{\frac {1}{3}}={\frac {8}{18}}-{\frac {6}{18}}={\frac {1}{9}}.\\&{\frac {1}{9}}-{\frac {2}{18}}=0.\end{aligned}}}$

As cantidades a repartir aparecen no numerador de cada resta.

Así visto, o problema non ten unha definición moi adecuada matematicamente posto que non se recibe 1/2 da herdanza, 1/2 das 17 pitas, senón que se recibe o número enteiro superior máis aproximado ao que sería o reparto unitario coas proporcións dadas para cada herdeiro. Algo difícil de expresar nunha frase de ámbito común.

Historia

O crebacabezas dos 17 animais pódese ver como un exemplo dun problema de "completamento á unidade", no que se debe completar un conxunto de fraccións que se suman a menos dunha, sumando máis fraccións. para que o seu total sexa exactamente un. Os problemas de subdividir equitativamente elementos indivisibles en proporcións especificadas, vistos nestes problemas de herdanza, tamén xorden cando se asignan escanos en sistemas electorais baseados na representación proporcional . ^[3]

A aparición máis antiga documentada do crebacabezas atopado por Pierre Ageron, usando 17 camelos, aparece na obra do filósofo xiíta iraniano do século XVIII Mulla Muhammad Mahdi Naraqi . ^[4] En 1850 xa entrara en circulación en América, a través dun diario de viaxe de Mesopotamia publicado por James Phillips Fletcher. ^[5][6] Apareceu en The Mathematical Monthly en 1859, ^[7][8] e incluíuse unha versión con 17 elefantes e unha suposta orixe chinesa en Hanky Panky: A Book of Conjuring Tricks (Londres, 1872), editada por William Henry Cremer pero moitas veces. atribuída a Wiljalba Frikell  ou Henry Llewellyn Williams. ^[1][7]

Xeneralizacións

Paul Stockmeyer, un científico informático, define unha clase de crebacabezas similares para calquera número ${\displaystyle n}$ de animais, coa propiedade de que ${\displaystyle n}$ pódese escribir como unha suma de distintos divisores ${\displaystyle d_{1},d_{2},\dots }$ de ${\displaystyle n+1}$ . Neste caso, obtense un crebacabezas no que as fraccións nas que os ${\displaystyle n}$ animais deben ser divididos son$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{n+1}},{\frac {d_{2}}{n+1}},\dots .}$$Como os números ${\displaystyle d_{i}}$ escolléronse para dividir ${\displaystyle n+1}$, todas estas fraccións simplifícanse en fraccións unitarias. Cando se combina coa parte dos animais do cura, ${\displaystyle 1/(n+1)}$, producen unha representación de fracción exipcia do número un. ^[1]

Os números de camelos que se poden usar como base para tal crebacabezas (é dicir, números ${\displaystyle n}$ que se poden representar como sumas de distintos divisores de ${\displaystyle n+1}$ ) forman a secuencia de enteiros

1, 3, 5, 7, 11, 15, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 35, 39, 41, ...^[9]

S. Naranan, un físico indio, busca unha clase máis restrinxida de crebacabezas xeneralizados, con só tres termos e con ${\displaystyle n+1}$ igual ao mínimo común múltiplo dos denominadores das tres fraccións unitarias, atopando só sete posibles triplos de fraccións que cumpran estas condicións. ^[10]

Os investigadores brasileiros Márcio Luís Ferreira Nascimento e Luiz Barco xeneralizan o problema aínda máis, como na variación con 35 camelos, a casos nos que se pode prestar máis dun camelo e o número de retorno pode ser maior que o prestado. ^[7]

Notas

1. Stockmeyer, Paul K. (September 2013). Of camels, inheritance, and unit fractions. Math Horizons. pp. 8–11. JSTOR 10.4169/mathhorizons.21.1.8. MR 3313765. doi:10.4169/mathhorizons.21.1.8. 
2. Ben-Chaim, David; Shalitin, Yechiel; Stupel, Moshe (February 2019). Historical mathematical problems suitable for classroom activities. The Mathematical Gazette 103. pp. 12–19. doi:10.1017/mag.2019.2. 
3. Çarkoğlu, Ali; Erdoğan, Emre (1998). Fairness in the apportionment of seats in the Turkish legislature: is there room for improvement?. New Perspectives on Turkey 19. pp. 97–124. doi:10.1017/s0896634600003046. 
4. Ageron, Pierre (2013). Le partage des dix-sept chameaux et autres arithmétiques attributes à l'immam 'Alî: Mouvance et circulation de récits de la tradition musulmane chiite (PDF). Revue d'histoire des mathématiques (en francés) 19. pp. 1–41. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2023-03-24. Consultado o 2023-03-24. ; see in particular pp. 13–14.
5. Fletcher, James Phillips (1850). Notes from Nineveh: And Travels in Mesopotamia, Assyria and Syria. Lea & Blanchard. p. 206. 
6. Maxham, Ephraim; Wing, Daniel Ripley (October 24, 1850). A Wise Judge. The Eastern Mail 4 (Waterville, Maine). p. 3. Arquivado dende o orixinal o 2023-03-24. Consultado o 2023-03-24. 
7. Nascimento, Márcio Luís Ferreira; Barco, Luiz (September 2016). The man who loved to count and the incredible story of the 35 camels. Journal of Mathematics and the Arts 10. pp. 35–43. doi:10.1080/17513472.2016.1221211. Arquivado dende o orixinal o 2023-03-25. Consultado o 2023-03-25. 
8. Problem. Notes and queries. The Mathematical Monthly 1. August 1859. p. 362. Arquivado dende o orixinal o 2023-03-25. Consultado o 2023-03-25. 
9. (secuencia A085493 na OEIS) Numbers k having partitions into distinct divisors of k + 1.
10. Naranan, S. (1973). An "elephantine" equation. Mathematics Magazine 46. pp. 276–278. JSTOR 2688266. MR 1572070. doi:10.2307/2688266. 

Véxase tamén

Outros artigos

• Fracción exipcia
• O mono e os cocos, un crebacabezas de división xusta máis complicado
• Matemáticas do reparto, métodos xerais para redondear subdivisións de fraccións en números enteiros de elementos