Équation transcendante

John Herschel, Description of a machine for resolving by inspection certain important forms of transcendental equations ("Description d'une machine pour résoudre par inspection certaines formes importantes d'équations transcendantes"), 1832

Une équation transcendante est une équation contenant une fonction transcendante d'une ou plusieurs variables qui sont solutions de l'équation. De telles équations n'ont généralement pas de solutions analytiques. Par exemple, on peut citer les équations suivantes :

${\displaystyle x=e^{-x}}$

${\displaystyle x=\cos(x)}$

Équations transcendantes résolubles

Les équations pour lesquelles l'inconnue n'apparaît qu'une seule fois en tant qu'argument d'une fonction transcendante peuvent être résolues facilement, en utilisant les fonctions inverses. Il en va de même si l'équation peut être réduite à un cas similaire.

Solutions approchées

Des solutions numériques approchées d'équations transcendantes peuvent être trouvées par des méthodes numériques, d'approximation analytique ou bien graphiques^[1].

Les méthodes numériques pour résoudre des équations arbitraires font appel aux algorithmes de recherche d'un zéro d'une fonction.

Dans certains cas, l'équation peut être approximée par une série de Taylor au voisinage du zéro. Par exemple, pour ${\displaystyle k\approx 1}$, les solutions de ${\displaystyle \sin x=kx}$ sont approximativement celles de ${\displaystyle (1-k)x-x^{3}/3}$, c'est-à-dire ${\displaystyle x=0}$ et ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {6}}{\sqrt {1-k}}}$.

Pour une solution graphique, une méthode est de séparer les variables puis de représenter les deux graphes. Les points d'intersection indiquent alors des solutions.

Dans d'autres cas, des fonctions spéciales peuvent être utilisées pour obtenir des solutions analytiques. En particulier, ${\displaystyle x=e^{-x}}$ a une solution analytique en termes de la fonction W de Lambert.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Transcendantal equation » (voir la liste des auteurs).

1. J.-CH. Dupain, « Résolution d’une équation transcendante », Nouvelles annales de mathématiques, 2^e série, vol. 2,‎ 1863, p. 82-85 (lire en ligne)

Voir aussi

• Les problèmes de la chèvre, nécessitant la résolution d'équations transcendantes (${\displaystyle \tan x-x=cte,\sin x-x\cos x=cte}$).
• Le problème de Mrs. Minivers nécessitant la résolution d'une équation du type ${\displaystyle x-\sin x=cte}$.