Équation de Sylvester

En mathématiques, dans le domaine de la théorie du contrôle, une équation de Sylvester est une équation matricielle de la forme^[1] :

${\displaystyle AX+XB=C}$.

Les matrices ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ sont données ; le problème est de déterminer les matrices ${\displaystyle X}$ qui satisfont cette équation. Les matrices sont supposées à coefficients complexes. Les matrices sont de tailles appropriées, par exemple elles sont toutes des matrices carrées de même taille, ou plus généralement, ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des matrices carrées de taille ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle m}$ respectivement, et ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle C}$ sont à ${\displaystyle n}$ lignes et ${\displaystyle m}$ colonnes.

Une équation de Sylvester a une solution unique en ${\displaystyle X}$ si et seulement si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle -B}$ n'ont pas de valeur propre commune. Plus généralement, l'équation ${\displaystyle AX+XB=C}$ a été considérée comme une équation d'opérateurs bornés dans un espace de Banach (éventuellement de dimension infinie). Dans ce cas, la condition d'unicité d'une solution en ${\displaystyle X}$ est quasiment la même : il existe une solution unique en ${\displaystyle X}$ exactement lorsque les spectres de ${\displaystyle A}$ et de ${\displaystyle -B}$ sont disjoints^[2].

Existence et unicité des solutions

En utilisant le produit de Kronecker et l'opérateur de vectorisation (en) ${\displaystyle \operatorname {vec} }$, on peut réécrire l'équation de Sylvester sous la forme

${\displaystyle (I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}$

où ${\displaystyle A}$ est de taille ${\displaystyle (n,n)}$, ${\displaystyle B}$ est de taille ${\displaystyle (m,m)}$, ${\displaystyle X}$ de taille ${\displaystyle (n,m)}$ et ${\displaystyle I_{k}}$ est la matrice d'identité de taille ${\displaystyle k}$. Sous cette forme, l'équation peut être vue comme un système linéaire de taille ${\displaystyle mn\times mn}$^[3].

Théorème — Étant données des matrices ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ et ${\displaystyle B\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$, l'équation de Sylvester :${\displaystyle AX+XB=C}$ a une solution unique ${\displaystyle X\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ quelle que soit ${\displaystyle C\in \mathbb {C} ^{n\times m}}$ si et seulement si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle -B}$ n'ont pas de valeur propre commune.

Démonstration

L'équation ${\displaystyle AX+XB=C}$ est un système linéaire en ${\displaystyle mn}$ inconnues et autant d'équations. Elle a donc une solution unique pour tout ${\displaystyle C}$ si et seulement si l'équation homogène ${\displaystyle AX+XB=0}$ n'admet que la solution triviale ${\displaystyle 0}$ .

(i) Supposons que ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle -B}$ n'ont pas de valeur propre commune et soit ${\displaystyle X}$ une solution de l'équation homogène. Alors ${\displaystyle AX=X(-B)}$ et par récurrence ${\displaystyle A^{k}X=X(-B)^{k}}$ pour tout ${\displaystyle k\geq 0}$. Par conséquent, on a ${\displaystyle p(A)X=Xp(-B)}$ pour tout polynôme ${\displaystyle p}$. En particulier, soit ${\displaystyle p}$ le polynôme caractéristique de ${\displaystyle A}$ . Alors ${\displaystyle p(A)=0}$ par le théorème de Cayley-Hamilton ; le théorème spectral donne

${\displaystyle \sigma (p(-B))=p(\sigma (-B))}$,

où ${\displaystyle \sigma (\cdot )}$ désigne le spectre d'une matrice. Si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle -B}$ n'ont pas de valeur propre commune, ${\displaystyle p(\sigma (-B))}$ ne contient pas zéro, et donc ${\displaystyle p(-B)}$ est non singulier. Ainsi ${\displaystyle X=0}$ comme annoncé. Cela prouve la partie directe du théorème.

(ii) Supposons maintenant que ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle -B}$ partagent une valeur propre ${\displaystyle \lambda }$ . Soit ${\displaystyle u}$ un vecteur propre droit associé pour ${\displaystyle A}$, et ${\displaystyle v}$ un vecteur propre gauche associé pour ${\displaystyle -B}$, et soit ${\displaystyle X=u{v}^{*}}$ . Alors ${\displaystyle X\neq 0}$, et ${\displaystyle AX+XB=A(uv^{*})-(uv^{*})(-B)=\lambda uv^{*}-\lambda uv^{*}=0.}$ Ainsi ${\displaystyle X}$ est une solution non triviale à l'équation homogène, montrant la réciproque du théorème.

La non-singularité de ${\displaystyle p(-B)}$ dans la partie (i) de la preuve ci-dessus peut également être démontrée par l' identité de Bézout pour des polynômes premiers entre eux. Soit en effet ${\displaystyle q}$ le polynôme caractéristique de ${\displaystyle -B}$ . Comme ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle -B}$ n'ont pas de valeur propre commune, ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ sont premiers entre eux. Il existe donc des polynômes ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ tel que ${\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1}$ . Par le théorème de Cayley-Hamilton, ${\displaystyle q(-B)=0}$ . Ainsi ${\displaystyle p(-B)f(-B)=I}$, ce qui implique que ${\displaystyle p(-B)}$ est non singulier.

Le théorème reste vrai pour les matrices réelles sous réserve de considérer leurs valeurs propres complexes. La preuve de la partie directe est toujours valable ; pour la réciproque, on note que ${\displaystyle \mathrm {Re} (uv^{*})}$ et ${\displaystyle \mathrm {Im} (uv^{*})}$ satisfont l'équation homogène ${\displaystyle AX+XB=0}$, et ils ne peuvent pas être nuls simultanément.

La règle de suppression de Roth

Étant donné deux matrices carrées complexes ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ de taille ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle m}$, et une matrice ${\displaystyle C}$ de taille ${\displaystyle (n,m)}$, on peut se demander quand les deux matrices carrées suivantes

: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}\,}$ et ${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}$

de taille ${\displaystyle n+m}$ sont semblables. La réponse est que ces deux matrices sont semblables exactement lorsqu'il existe une matrice ${\displaystyle X}$ telle que ${\displaystyle AX-XB=C}$, en d'autres termes, si ${\displaystyle X}$ est une solution d'une équation de Sylvester. Cette observation est appelée la règle de suppression de Roth ^[4].

On vérifie facilement une direction : Si ${\displaystyle AX-XB=C}$ alors

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.}$

La règle de suppression de Roth ne se généralise pas aux opérateurs bornés de dimension infinie sur un espace de Banach^[5].

Résolutions numériques

Un algorithme classique de résolution numérique de l'équation de Sylvester est l'algorithme de Bartels-Stewart, qui consiste à transformer ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ en forme de Schur par un algorithme QR, puis en résolvant le système triangulaire résultant par substitution. Cet algorithme, dont le coût de calcul est en ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$ opérations arithmétiques, est utilisé, entre autres, par le logiciel LAPACK et la fonction lyap dans GNU Octave^[6]. Elle est proche de la fonction sylvester dans cet ensemble^[7],[8]. Dans certaines applications spécifiques de traitement d'image , la solution de l'équation de Sylvester dérivée a une forme close^[9].

Articles connexes

• Équation de Liapounov
• Équation de Riccati

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sylvester equation » (voir la liste des auteurs).

1. On voit aussi l'écriture équivalente ${\displaystyle AX-XB=C}$.
2. Bhatia et Rosenthal 1997.
3. Cependant, cette réécriture de n'est pas conseillée car la solution numérique coûteuse en temps peut être mal conditionnée.
4. F. Gerrish et A.G.B. Ward, « Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule », The Mathematical Gazette, vol. 82, n^o 495,‎ novembre 1998, p. 423–430 (DOI 10.2307/3619888, JSTOR 3619888).
5. Bhatia et Rosenthal 1997, p. 3.
6. « Function Reference: Lyap »
7. « Functions of a Matrix (GNU Octave (version 4.4.1)) »
8. La commande syl est obsolète depuis la version GNU Octave Version 4.0.
9. Q. Wei, N. Dobigeon et J.-Y. Tourneret, « Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation », Transactions on Image Processing, vol. 24, n^o 11,‎ 2015, p. 4109–4121 (PMID 26208345, DOI 10.1109/TIP.2015.2458572, Bibcode 2015ITIP...24.4109W, arXiv 1502.03121, S2CID 665111).

Références

• J. Sylvester, « Sur l'equations en matrices ${\displaystyle px=xq}$ », Comptes rendus de l'académie des sciences, vol. 99, n^o 2,‎ 1884, p. 67–71, 115–116
• R. H. Bartels et G. W. Stewart, « Solution of the matrix equation ${\displaystyle AX+XB=C}$ », Communications of the ACM, vol. 15, n^o 9,‎ 1972, p. 820–826 (DOI 10.1145/361573.361582, S2CID 12957010)
• R. Bhatia et P. Rosenthal, « How and why to solve the operator equation ${\displaystyle AX-XB=Y}$ ? », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 29, n^o 1,‎ 1997, p. 1–21 (DOI 10.1112/S0024609396001828)
• S.-G. Lee et Q.-P. Vu, « Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum », Linear Algebra Appl., vol. 435, n^o 9,‎ 2011, p. 2097–2109 (DOI 10.1016/j.laa.2010.09.034)
• Q. Wei, N. Dobigeon et J.-Y. Tourneret, « Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation », IEEE Transactions on Image Processing, vol. 24, n^o 11,‎ 2015, p. 4109–4121 (PMID 26208345, DOI 10.1109/TIP.2015.2458572, Bibcode 2015ITIP...24.4109W, arXiv 1502.03121, S2CID 665111)
• Garrett Birkhoff et Saunders MacLane, A survey of modern algebra, Macmillan, 1965, p. 213-299

Liens externes

• Fonction Mathematica pour résoudre l'équation de Sylvester
• Fonction MATLAB pour résoudre l'équation de Sylvester