Équation de Hill

L'équation de Hill est une équation différentielle linéaire du second ordre satisfaisant :

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(t)x=0}$ avec f une fonction périodique.

Cette équation a été introduite par George William Hill en 1886 et revient notamment de manière récurrente en physique.

On peut toujours, à l'aide d'un changement de variable obtenir une équation similaire où f est π-périodique. On peut alors la réécrire sous la forme d'une série de Fourier :

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0}$

Un cas important de cette classe d'équation est l'équation de Mathieu, où ${\displaystyle f(t)=a-2q\cos(2t)}$ et l'équation de Meissner avec ${\displaystyle f(t)=\alpha ^{2}+\omega ^{2}\operatorname {sgn}(\cos(t))}$.

Les solutions de l'équation de Hill sont développées dans la théorie de Floquet.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hill differential equation » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Hill's Differential Equation », sur MathWorld