Si est un processus stochastique à valeurs réelles défini sur un espace probabilisé et avec un indice de temps qui parcourt les nombres réels positifs, sa variation quadratique est le processus, noté , défini par :
,
où parcourt les subdivisions de l'intervalle et la norme de la subdivision est son pas. Cette limite, si elle existe, est définie à l'aide de la convergence en probabilité. Un processus peut avoir une variation quadratique finie au sens de la définition ci-dessus, tout en ayant ses parcours presque sûrement de variation quadratique infinie pour tous les , au sens classique où l'on prend la borne supérieure de la somme sur toutes les subdivisions ; c'est notamment le cas du mouvement brownien[2].
Plus généralement, la covariation de deux processus et est :
.
Pour une martingale
Avec les mêmes hypothèses, si est de plus une martingale, alors est une sous-martingale (d'après l'inégalité de Jensen conditionnelle). Par décomposition de Doob-Meyer on peut donc écrire de façon unique comme la somme d'une martingale et d'un processus prévisiblecroissant. Une définition alternative possible de la variation quadratique (de la martingale ) est alors :
.
Autrement dit, la variation quadratique de est le seul processus prévisible croissant tel que soit une martingale.
On peut montrer[3] que ces deux définitions sont bien sûr équivalentes quand est une martingale.
Exemples
La variation quadratique d'un mouvement brownien standard est: