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Un type algébrique est une forme de type de données composite^{[note 1]}, qui combine les fonctionnalités des types produits ( $n$ ‐uplets ou enregistrements) et des types sommes (union disjointe). Combinée à la récursivité, elle permet d’exprimer les données structurées telles que les listes et les arbres.

Définitions

Type produit

Le type produit de deux types $A$ et $B$ est l’analogue en théorie des types du produit cartésien ensembliste et est noté $A \times B$ . C’est le type des couples dont la première composante est de type $A$ et la seconde de type $B$ . Deux fonctions canoniques lui sont associées, appelées projections, donnant la valeur de chaque composante.

Exemple : type produit en OCaml :

On peut définir en langage OCaml le type d’une entrée de dictionnaire :

type dict_entry = string * int

let entry = ("clé", 37)

(* get_value : dict_entry -> int *)
let get_value (key, value) = value

Le produit se généralise naturellement à un nombre quelconque d’opérandes, pour donner des types de $n$ ‐uplets. Dans le cas particulier du produit vide, le type des 0‐uplets est nommé type unité et noté $1$ : c’est l’élément neutre du produit et il contient une unique valeur, souvent notée $()$ .

Des considérations pratiques amènent souvent à nommer les composantes^{[note 2]}. Dans ce contexte, le type est souvent appelé structure et ses valeurs des enregistrements ; les composantes sont appelées membres, et la projection selon le membre m s’écrit avec une notation suffixe .m.

Exemple : structure en OCaml :

Toujours en OCaml, l’exemple précédent s’adapte ainsi :

type dict_entry = {
  key   : string ;
  value : int ;
}

let entry = { key = "clé" ; value = 37 }

(* get_value : dict_entry -> int *)
let get_value entry = entry.value

Exemple : structure en langage C :

Cette fonctionnalité se traduit en langage C par le mot‐clé struct (en) :

typedef struct {
	char* key ;
	int   value ;
} dict_entry ;

dict_entry entry = { .key = "clé", .value = 37 } ;

int get_value (dict_entry entry) {
	return entry.value ;
}

Article détaillé : enregistrement (structure de données).

Type somme

Le type somme de deux types $A$ et $B$ est l’analogue en théorie des types de l’union disjointe ensembliste et est noté $A + B$ . Il représente un type contenant toutes les valeurs de chacun des deux types $A$ et $B$ , de telle sorte qu’une valeur issue de $A$ ne puisse pas être confondue avec une valeur issue de $B$ (même si $A = B$ ).

En théorie des ensembles, on représenterait la somme par l’ensemble ${1}\times A \cup {2}\times B$ ; la première composante (1 ou 2) d’un tel objet est une étiquette qui indique si cet objet se trouve dans le bras de gauche ( $A$ ) ou dans le bras de droite ( $B$ ) de la somme. Les analogues en théorie des types des expressions $(1, a)$ et $(2, b)$ sont souvent notés $ι 1 a$ et $ι 2 b$ ( $ι$ est la lettre grecque iota). Ces notations $ι 1$ et $ι 2$ peuvent être vues comme des fonctions injectives, respectivement de $A$ dans $A + B$ et de $B$ dans $A + B$ , qui permettent de construire les valeurs de la somme, d’où leur nom de constructeurs. Dans $ι 1 a$ , la valeur $a$ est appelée l’argument du constructeur $ι 1$ .

Traiter des valeurs d’un type somme requiert un raisonnement par cas, nommé dans ce contexte filtrage par motif. Chaque bras — qu’on reconnaît par son constructeur et dont on peut récupérer la valeur puisque ce constructeur est injectif — fait l’objet d’un cas séparé.

Exemple : type somme en OCaml :

On peut définir on OCaml l’union disjointe des nombres entiers et des nombres flottants et définir par filtrage une fonction sur cette union :

type sum = Int of int | Float of float

(* print : sum -> unit *)
let print = function
  | Int i   -> Printf.printf "%i" i
  | Float f -> Printf.printf "%f" f

Ici, les constructeurs sont nommés Int et Float.

Exemple : type « union » en langage C :

Cette fonctionnalité s’approxime en langage C avec le mot clé union (en) à condition d’y adjoindre une étiquette, mais cela n’offre pas les mêmes garanties (on peut lire et modifier un objet du type somme en faisant fi de son étiquette — quitte à provoquer des bugs) :

typedef struct {
	enum { INT, FLOAT } tag ;
	union {
		int i ;
		float f ;
	} ;
} sum_t ;

void print (sum_t x) {
	if (x.tag == INT)
		printf("%i", x.i) ;
	else if (x.tag == FLOAT)
		printf("%f", x.f) ;
}

La somme se généralise naturellement à un nombre quelconque d’opérandes. Dans le cas particulier de la somme vide, le type est nommé type vide et noté $0$ : c’est l’élément neutre de la somme (et élément absorbant du produit) et il ne contient aucune valeur.

Type énuméré

Un type énuméré représente un ensemble fini, dont les éléments sont les différents constructeurs. Définir une fonction dessus revient à définir l’image de chaque élément, individuellement.

Exemple : type énuméré en OCaml :

On peut par exemple coder l’ensemble des quatre couleurs d’un jeu de cartes classique :

type couleur = Coeur | Carreau | Trefle | Pique

(* nom_de_la_couleur : couleur -> string *)
let nom_de_la_couleur = function
  | Coeur   -> "♥ cœur"
  | Carreau -> "♦ carreau"
  | Trefle  -> "♣ trèfle"
  | Pique   -> "♠ pique"

Exemple : type énuméré en langage C :

Cette fonctionnalité se traduit en langage C par le mot‐clé enum :

typedef enum { COEUR, CARREAU, TREFLE, PIQUE } couleur ;

char* nom_de_la_couleur (couleur c) {
	switch (c) {
		case COEUR   : return "♥ cœur" ;
		case CARREAU : return "♦ carreau" ;
		case TREFLE  : return "♣ trèfle" ;
		case PIQUE   : return "♠ pique" ;
	}
}

Article détaillé : type énuméré.

Type algébrique

Un type algébrique est une somme de produits, et généralise donc ces deux notions.

Ainsi, des cas spéciaux de types algébriques sont les types produits (un seul constructeur), les types sommes (un seul argument pour chaque constructeur) et les types énumérations (plusieurs constructeurs sans argument).

Exemple : type option et type résultat :

Les types options (en) sont des applications courantes de types algébriques. Ils permettent d’ajouter à un type donné une valeur spéciale, considérée comme « indéfinie » ou comme valeur d’erreur (l’équivalent de null dans certains langages de programmation), ce qui permet de définir des fonctions partielles de façon contrôlée.

La valeur spéciale est représentée par un constructeur None qui ne prend aucun argument, tandis que les valeurs du type à compléter sont enveloppées dans un constructeur Some (qui prend donc un argument de ce type).

type int_option = None | Some of int

(* division : int -> int -> int_option *)
let division x y =
  if y = 0 then
    None
  else
    Some (x / y)

On peut perfectionner le mécanisme en agrémentant le cas d’erreur d’un message de description (donnée de type string).

type int_result = Result of int | Error of string

(* division : int -> int -> int_result *)
let division x y =
  if y = 0 then
    Error "division by zero"
  else
    Result (x / y)

Polymorphisme

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Dans les langages qui les supportent, les types algébriques peuvent être (paramétriquement) polymorphes, ce qui permet la programmation générique. Ainsi, la définition d’un type algébrique peut être paramétrée par des variables de types.

On peut alors définir des fonctions génériques agissant sur de tels types polymorphes.

Exemple : type option polymorphe :

On peut rendre polymorphe la définition du type option vue précédemment. Ça s’écrit ainsi en langage OCaml (où 'a dénote une variable de type) :

type 'a option = None | Some of 'a

(** Utilisation d’instances du type polymorphe : **)

(* int_division : int -> int -> int option *)
let int_division x y =
  if y = 0 then
    None
  else
    Some (x / y)

(* float_division : float -> float -> float option *)
let float_division x y =
  if y = 0.0 then
    None
  else
    Some (x /. y)

(** Définition d’une fonction générique : **)

(* get_value : 'a -> 'a option -> 'a *)
let get_value default_value optional_value =
  match optional_value with
  | None       -> default_value
  | Some value -> value

Type algébrique généralisé

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Récursivité

Article détaillé : type récursif.

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Listes

Un des exemples les plus importants de type algébrique est le type liste, défini de façon récursive par deux constructeurs :

$Nil$ , aussi noté [], qui désigne la liste vide,
et $Cons$ (abréviation de « constructeur »), aussi noté :: ou :, qui désigne la combinaison d’un élément et d’une liste plus courte.

Par exemple, $Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 (Cons 4 Nil)))$ , aussi noté 1 :: 2 :: 3 :: 4 :: [], est la liste constituée des quatre éléments 1, 2, 3, 4, dans cet ordre.

Toutes les opérations sur les listes se définissent alors par récurrence, en utilisant le filtrage par motif. Par exemple, pour calculer la longueur d’une liste :

la longueur de la liste vide ( $Nil$ ) est zéro,
et la longueur d’une liste de la forme $Cons x suite$ est un plus la longueur de la liste $suite$ .

Exemple : type liste en OCaml :

Cette définition se traduit ainsi en langage OCaml :

type 'a list =
  | Nil
  | Cons of 'a * 'a list

let list1234 = Cons 1 (Cons 2 (Cons 3 (Cons 4 Nil)))

let rec length = function
  | Nil      -> 0
  | Cons x s -> 1 + length s

Arbres

Les types algébriques permettent également de définir des structures d’arbres. Un arbre binaire peut se construire au moyen de deux constructeurs :

$Leaf e$ qui désigne une feuille d’étiquette $e$ ,
et $Node e g d$ qui désigne un nœud interne d’étiquette $e$ , de fils gauche $g$ et de fils droit $d$ .

Par exemple,

Node 1
  (Node 2
    (Leaf 4)
    (Node 5
      (Leaf 6)
      (Leaf 7)
    )
  )
  (Leaf 3)

est l’arbre suivant :

Comme pour les listes, les opérations sur les arbres se définissent par récurrence. Par exemple, pour calculer la hauteur d’un arbre :

la hauteur d’une feuille est un,
et la hauteur d’un nœud interne est un plus le maximum de la hauteur de ses deux fils.

Exemple : type arbre binaire en OCaml :

Cette définition se traduit ainsi en langage OCaml :

type tree =
  | Leaf of int 
  | Node of tree * int * tree

let my_tree = Node 1 (Node 2 (Leaf 4) (Node 5 (Leaf 6) (Leaf 7))) (Leaf 3)

let rec height = function
  | Leaf e     -> 1
  | Node e l r -> 1 + max (height l) (height r)

Abstraction

Un type algébrique peut être abstrait : il suffit pour ça de ne pas exposer sa structure interne (ses constructeurs et leurs divers champs). Ainsi, il ne peut être manipulé que par les fonctions prévues à cet effet, et son implémentation peut être changée.

C’est une technique fréquente car les types algébriques permettent de réaliser des structures de données complexes.

Voir aussi

Notes & références

Notes

↑ C’est‐à‐dire un type formé en combinant d’autres types plus simples.
↑ De structurel, le typage devient alors nominal. Dans le premier cas, l’expression d’un $n$ ‐uplet permet de déduire entièrement sa structure (par exemple, ("clé", 37) est de type string * int) et déclarer le type est donc superflu. Dans le second cas, au contraire, l’expression ne suffit pas ({ key = "clé" ; value = 37 } peut suivre la structure { key : string ; value : int } mais aussi { value : int ; key : string } — qui est différente —, et l’expression entry.value permet seulement de déduire que la structure de entry contient un champ nommé value), et il faut donc déclarer les structures utilisées afin d’associer chaque nom de membre à une structure.