Théorème de doublement de dimension

En probabilités, les théorèmes de doublement de dimension sont deux résultats sur la dimension de Hausdorff de l'image d'un mouvement brownien. Les deux théorèmes disent en substance que la dimension d'un ensemble ${\displaystyle A}$ double presque sûrement sous le mouvement brownien.

Le premier théorème est également appelé théorème de McKean (1955) et a été écrit par Henry McKean. Le deuxième théorème est un renforcement du théorème précédent et est aussi appelé théorème de Kaufman (1969) car il est de Robert Kaufman^[1].

Énoncé

Pour un mouvement brownien ${\displaystyle W(t)}$ et un ensemble ${\displaystyle A\subset [0,\infty )}$ on définit l'image de ${\displaystyle A}$ sous ${\displaystyle W}$, soit

${\displaystyle W(A):=\{W(t):t\in A\}\subset \mathbb {R} ^{d}.}$

Théorème de McKean

Soit ${\displaystyle W(t)}$ un mouvement brownien de dimension ${\displaystyle d\geq 2}$. Soit ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} _{+}}$, alors^[2]

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A}$

${\displaystyle P}$-presque sûrement.

Théorème de Kaufman

Soit ${\displaystyle W(t)}$ un mouvement brownien de dimension ${\displaystyle d\geq 2}$. Alors ${\displaystyle P}$-presque sûrement, pour tout ensemble ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} _{+}}$, que^[3]

${\displaystyle \dim W(A)=2\dim A.}$

Remarques

La différence entre les deux théorèmes est la suivante : dans le théorème de McKean, le ${\displaystyle P}$-ensemble négligeable (l'ensemble sur lequel l'énoncé n'est pas vérifié) dépend du choix de l'ensemble ${\displaystyle A}$. Le résultat de Kaufman est valable pour tous les ensembles ${\displaystyle A}$ en même temps. Le résultat de Kaufman peut donc aussi être utilisé pour des ensembles aléatoires ${\displaystyle A}$.

Bibliographie

• (en) Peter Mörters et Yuval Peres, Brownian Motion, Cambridge, Cambridge University Press, 2010
• (en) René L. Schilling et Lothar Partzsch, Brownian Motion, De Gruyter, 2014

Notes et références

1. Robert Kaufman, Une propriété métrique du mouvement brownien, vol. 268, coll. « C. R. Acad. Sci. Paris », 1969, p. 727-728
2. Peter Mörters et Yuval Peres, Brownian Motion, Cambridge, Cambridge University Press, 2010, p. 114
3. Peter Mörters et Yuval Peres, Brownian Motion, Cambridge, Cambridge University Press, 2010, p. 279