Théorème de Lagrange sur les polynômes

Il s'agit d'un résultat trouvé par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange^{[réf. souhaitée]} concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:

${\displaystyle P(x)=x^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}{a_{i}x^{i}}}$

où les ${\displaystyle a_{i}}$ sont réels.

Si a est une racine de P, alors a vérifie

${\displaystyle |a|\leq 1+\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|).}$

Ce théorème reste vrai si les ${\displaystyle a_{i}}$ et ${\displaystyle a}$ sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon ${\displaystyle 1+\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|)}$, ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.

Preuve :

Supposons que ${\displaystyle a}$ est une racine du polynôme de module supérieur à 1 (Dans le cas contraire, la majoration est triviale). Réécrivons ${\displaystyle P(x)=0}$ de la sorte :

${\displaystyle x^{n}=-a_{0}-a_{1}x-...-a_{n-1}x^{n-1}}$

en écrivant ${\displaystyle h=\max _{i=0,..,n-1}|a_{i}|}$ :

${\displaystyle |x^{n}|\leq |a_{0}|+|a_{1}||x|+...+|a_{n-1}||x^{n-1}|}$

Comme ${\displaystyle |x|>1}$ et pour tout entier ${\displaystyle n}$ on a ${\displaystyle |x^{n}|=|x|^{n}}$ , on obtient :

${\displaystyle |x|^{n}\leq h[1+|x|+..+|x|^{n-1}]}$

l'expression entre crochet est une suite géométrique finie, on peut écrire:

${\displaystyle |x|^{n}\leq h{\frac {|x|^{n}-1}{|x|-1}}}$

Comme ${\displaystyle |x|>1}$ :

${\displaystyle |x|-1\leq h{\frac {|x|^{n}-1}{|x^{n}|}}=h\left(1-{\frac {1}{|x|^{n}}}\right)}$

Alors:

${\displaystyle |x|-1\leq h}$

Donc ${\displaystyle |x|\leq 1+h}$ , ce qui achève la démonstration.

Voir aussi

Article connexe

Pour un panorama sur ce type de résultats, voir l'article Théorie des équations (mathématiques).

Bibliographie

Augustin Louis Cauchy, Exercices de mathématiques, vol. 4, 1829 (lire en ligne), « Sur la résolution des équations numériques et sur la théorie de l'élimination », p. 92

Lien externe

https://captainblack.wordpress.com/2009/03/08/cauchys-upper-bound-for-the-roots-of-a-polynomial