Théorème de Cotes (moyenne harmonique)

Illustration du théorème de Cotes pour un point extérieur de la conique. Pour chaque droite du faisceau, la moyenne harmonique relativement à P des points d'intersection avec la courbe reste sur la droite en bleu continu

En géométrie algébrique, le théorème de Cotes sur les moyennes harmoniques est une propriété remarquée par Roger Cotes concernant les courbes algébriques et leurs intersections par des faisceaux de droites concourantes.

Pour des points M_i situés sur une droite (d) munie d'un repère d'origine P, on appelle moyenne harmonique de l'ensemble des points relativement à P, le point M_H dont l'abscisse est la moyenne harmonique de leurs abscisses.

Cotes a remarqué que, si l'on mène dans le plan d'une courbe algébrique plane une série de droites passant par un point fixe P, et si l'on prend pour chacune de ces transversales, la moyenne harmonique relativement à P des points d'intersection avec la courbe, tous ces points moyens seront sur une même droite.

Principe de démonstration

Une démonstration possible s'appuie sur fait que, pour un polynôme de degré n sans racine nulle, la somme des inverses des racines est égale à l'opposé du quotient du coefficient du terme de degré 1 par le coefficient constant.

Pour un point P donné et une courbe algébrique de degré n ne passant pas par P, on considère l'équation de la courbe dans un repère d'origine P, F(x , y) = 0. On considère des droites passant par P de vecteurs directeurs ${\displaystyle {\vec {u}}=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ et rencontrant la courbe en n points. Si la droite est munie du repère ${\displaystyle (P,{\vec {u}})}$, les abscisses des points d'intersections sont les racines du polynôme en λ, ${\displaystyle F(\lambda \cos \theta ,\lambda \sin \theta )}$. Son coefficient constant est F(0,0) et son coefficient de degré 1 est une combinaison linéaire des fonctions cosinus et sinus. On a donc

${\displaystyle {\frac {1}{n}}(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n})=-{\frac {a}{nF(0,0)}}\cos(\theta )-{\frac {b}{nF(0,0)}}\sin(\theta )=r\cos(\theta -\varphi )}$

où r et φ sont des constantes indépendantes de θ.

Illustration du théorème de Cotes pour un point intérieur de la conique. Pour chaque droite du faisceau, la moyenne harmonique relativement à P des points d'intersection avec la courbe reste sur la droite en bleu continu

Le point M_H a donc pour coordonnées

${\displaystyle \left({\frac {1}{r\cos(\theta -\varphi )}}\cos \theta ,{\frac {1}{r\cos(\theta -\varphi )}}\sin \theta \right)}$.

Il est donc situé sur la droite passant par le point ${\displaystyle H\left({\frac {\cos \varphi }{r}},{\frac {\sin \varphi }{r}}\right)}$ et perpendiculaire à (PH)^[1].

La propriété est valable tant pour des moyennes harmoniques de nombres positifs que pour des moyennes harmoniques comportant des termes négatifs à condition que la somme des termes ne soit pas nulle.

Contexte historique

Ce théorème est énoncé par Roger Cotes. Il est trouvé dans les papiers du savant, après sa mort en 1716, par son cousin mathématicien Robert Smith, qui le transmet, sans démonstration, à Colin Maclaurin^[2]. Ce dernier en propose deux démonstrations, une géométrique et une algébrique^[3] dans son De linearum géometricarum proprietatibus generalibus tractatus de 1748^[4]

Ce théorème généralise le théorème de Newton sur les diamètres qui traite de la moyenne arithmétique des points d'intersection pour un faisceau de droites parallèles^[5]. Il suffit pour passer de ce théorème à celui de Newton de faire glisser le point P sur la droite directrice du futur faisceau de parallèles. Quand le point P part vers l'infini la moyenne harmonique des points d'intersection relativement à P a pour limite l'isobarycentre de ces points. Le faisceau de droites concourantes en P tend alors vers un faisceau de droites parallèles.

Notes et références

1. Voir Coordonnées polaires#Droite
2. Maximilien Marie, Histoire des sciences mathématiques et physiques, Paris : Gauthier-Villars, 1883-1888, T.7, p.223, (lire en ligne)
3. Colin Maclaurin, « De linearum géometricarum proprietatibus generalibus tractatus» en appendice de A Treatrise of Algebra, § 23 à 32, (lire en ligne
4. Sa contribution est analysée par Olivier Bruneau dans «Le De linearum de MacLaurin : entre Newton et Poncelet», in Revue d'histoire des mathématiques, T. 17, Fascule 1, Société mathématique de France, 2011, p.24 et suivantes
5. Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, Mémoires de l'Académie Royales des sciences et belles-lettres de Bruxelles, T. XI, 1837, p. 147 (lire en ligne)